n=5のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^5+Y^5=Z^5を、X^5+Y^5=(Y+m)^5…(1)とおく。
X^5+X^5=(Y+1)^5…(2)が整数解を持つならば、(1)も整数解を持つ。
(2)を{(X^5-1)/5}^(1/4)={Y(Y^3+2Y^2+2Y+1)}^(1/4)…(3)と変形する。
(3)のXに任意の奇数を代入する。その左辺の整数部をYに代入する。
右辺は、Yの桁数の増加につれて、Y+0.5000…に近づく。
左辺は、Xの桁数の増加につれて、Y+0.5000…に近づかない。
∴n=5のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない