n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3を、X^3=(Y+m)^3-Y^3…(1)とおく。X,mは整数。
X^3=(Y+1)^3-Y^3…(2)が整数解を持つならば、(1)も整数解を持つ。
(2)を{(X^3-1)/3}^(1/2)={Y(Y+1)}^(1/2)…(3)と変形する。
(3)のXに任意の奇数を代入する。その左辺の整数部をYに代入する。
右辺は、Yの増加につれて、Y+0.4999999…に近づく。
左辺は、Xの増加につれて、Y+0.4999999…に近づかない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
（右辺と左辺の９の個数が、異なる）