n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3を、X^3+Y^3=(Y+m)^3…(1)とおく。
(1)の両辺を展開、整理して因数分解すると、
(X-m)(X^2+Xm+m^2)=3Ym(Y+m)…(2)となる。
(2)の両辺が等しければ、両辺は同じ形に因数分解できる。
(2)の両辺は因数分解の一意性により、同じ形に因数分解できない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。