n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3を、X^3+Y^3=(Y+m)^3…(1)とおく。X,Y,mは整数とする。
(1)をX^3=m{3(Y^2)+3mY+m^2)…(2)と変形する。
(2)のXが整数となる可能性があるのは、m=k^3,Y=k^3,k≧2のときのみである。kは整数。
(2)に代入すると、X^3=7(k^3)となる。よって、X={7^(1/3)}kとなる。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。