>>1
> (2)を(x^3-1)/3=y(y+1)…(3)と変形する。
> x,yが有理数で、解を持つならば、x,yが整数でも、解を持つ。

(8x^3+47)/64=y(y+1)が有理数解は持つが整数解は持たないとわかった以上、これは説明なしでは同意できかねます。