n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3を、X^3=(Y+m)^3-Y^3…(1)とおく。X,Y,mは整数とする。
X^3=(Y+1)^3-Y^3…(2)を検討する。
(2)を{(X^3-1)/3}^(1/2)={Y(Y+1)}^(1/2)…(3)と変形する。
(3)のYに任意の整数を代入すると、Yの増加につれて、Y+0.4999999…となる。
両辺の整数部が等しい場合、9の個数は、左辺＜右辺となる。
よって、(2)は成立しない。(1)は(2)の組み合わせによってできる。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。