x^n+y^n=(y+1)^n…(2)
n=1,n=2,n=3,n=5の場合でも、指数が異なるだけで、式の形は同じです。
(2)が整数解を持つならば、有理解も、持ちます。

n=1
1+2=3(整数解）,1+0.5=1.5(有理数解）
n=2
3^2+4^2=5^2(整数解）,4^2+(15/2)=(17/2)^2(有理数解）
n=3
(3)が整数解を持たないので、有理数解も、持ちません。
n=5
(3)が整数解を持たないので、有理数解も、持ちません。