では、改めて
有理数解を持つと仮定して、解を(2, a, a+k) (a, k は有理数)とします。
2^n=(a+k)^n-a^n....(3)

(3)の両辺にXが任意の整数になるように有理数を掛けて、その右辺に適当な同じ数を足して引くと、
Xが整数、Yが有理数となる全ての(1)が求められる。

∴n>=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持つ。

有理数解を持つと仮定すると、仮にあなたの方法が正しければですが、全ての有理数解が生じます。
とすると結果を左右するのは、有理数解を持つと仮定してよいかどうかであって、仮定してはいけないというのであれば、それは「有理数解がない」とそのときにわかっているからです。
なので、ここで最終結論の組み込みが証明の途中でなされてしまっていることになります。

あなたの証明方法は有理数解があると仮定すればあることになり、ないと仮定すればないことになるというだけであり、何か意味のある結論を導いていません。