美しい整数の世界

2を加えて立方数となる
平方数が25の他に整数で存在するか
この問題は一見するに
たいへん難しそうであるが，
私は25がそうした唯一の
平方数であることを厳密に
証明することができる
分数でなら，
バシェの方法がそのような
平方数を無数に提供するが，
整数の理論はとても美しくて，
とても精妙であって，
現在に至るまで，
私以外のどんな著者によっても
知られていないのである

[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である

[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする

x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥②
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③

②より、kは偶数，kx+1は奇数

③より、
x^2(x-1)/2は奇数
x^2は奇数，(x-1)/2も奇数
したがって,(x-1)は奇数の二倍
つまり、xは4の倍数-1

x=4n-1，k=2mとおく
x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入

(4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、
m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1
m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1
m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④

④より、
右辺はnが偶数のとき奇数
左辺は常に偶数
したがってnは奇数
つまり、xは8の倍数-5 となる

x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入

(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤

⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす

つまり⑤は、
l=1，m=1しか解が存在しない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入


∴整数解は、k=2,x=3

x^3-(x+k)^2=2…‥①
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤

⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす

□■■□□
■■■□□
■■■□□
□□□□□
□□□□□ 25

x^3-(x+k)^2=2…‥①
3^2+4^2=5^2…‥⑤

①から⑤、
原始ピタゴラス数の等式が
導出できる

1900年の国際数学者会議において、
20世紀に取り組まれるべき
数学の問題として世界中の数学者に
示されたものですが、
その中に
「整係数多変数高次不定方程式が
整数解を持つかどうかを決定する
一般的な解法を求めよ」という問題
(第10問題)がありました
現代風に言うと
「整係数多変数高次不定方程式が
整数解を持つかどうかを判定する
アルゴリズムを示せ」
という意味であり、
当時あいまいであった
アルゴリズムという概念について
数学者が考えるきっかけになりました

そのような判定は非常に困難である
ため、多くの数学者が
「そんなアルゴリズムはないだろう」
という予想に傾いて行きましたが、
「ない」と証明によって示すためには、
アルゴリズムとは何か、つまり、
計算できる範囲とはどこまでか、
をはっきりさせる必要がありました

原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=1]の
出力アルゴリズム

x=2n+1
y=2n(n+1)
z=2n(n+1)+1

n=1のとき、x=3,y=4,z=5
n=2のとき、x=5,y=12,z=13
n=3のとき、x=7,y=24,z=25
n=4のとき、x=9,y=40,z=41
n=5のとき、x=11,y=60,z=61
…

原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=2]の
出力アルゴリズム

x=4(n+1)
y=4(n+1)^2-1
z=4(n+1)^2+1

n=1のとき、x=8,y=15,z=17
n=2のとき、x=12,y=35,z=37
n=3のとき、x=16,y=63,z=65
…

もともと神秘的な思考の持ち主だった
ピタゴラスは数の完全性という
ものに関心をもっていた
ピタゴラスは数の完全性は
その数の約数によって決まると考えた
とくに約数の和がその数自身と同じ
になる数こそが完全数だとみなした

たとえば12の約数は1,2,3,4,6である
これは足すと16になる
こういう数を過剰数といった
10は1,2,5が約数だが足しても8にしか
ならないので不足数とよばれた

完全数でいちばん身近な例は6である
約数1,2,3を足すとちょうど6になる
次の完全数は28で、
1+2+4+7+14=28というふうになる
ピタゴラスの教団にとって、
こうした完全数は信仰の対象とすらなった
しかし、
この完全数はそんなに容易には見つからない
実際にも、
28の次の完全数は496、
4番目は8128で、
5番目は33550336、
6番目になると、
なんと8589869056というふうに
大きくなる

ピタゴラスは友愛数というものも
提案していた
友愛数はペアになった二つの数で、
一方の数が他方の数の約数の和になる
ようなものをいう
ピタゴラス教団は220と284が
友愛数だというめざましい発見をした
(220の約数の1,2,4…55,110の合計は284で、
284の約数の合計が220になる)

フェルマーも完全数や友愛数に
興味をもっていた
ピタゴラス以降、
友愛数は220と284のペアしか
見つけていない
フェルマーはただちに17296と18416の
ペアを発見した
この発見は友人たちを刺激して、
デカルトは3番目のペア
(9363584と9437056)を発見し、
オイラーにいたっては楽々62通りもの
ペアをあげてみせた

フェルマーは、さまざまな奇妙な発見をする
たとえば25・26・27という整数の
連続には、26が25(5x5)と27(3x3x3)に
挟まれるという特徴をもっている
いろいろ調べてみると、
このような26にあたるような数が
ほかにないらしいことがわかった
フェルマーは得意になった
ほかにそういう数があるなら
出してみなさいと言わんばかり
なのである

3^2+4^2=5^2

1^3+2^3+4^2=5^2

5^2+2=3^3

3^3-1^3=26

6^3+8^3=9^3-1

9^3-1=26(3^3)+26

原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 の
出力アルゴリズム

[z-y=1]

Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}]

[z-y=2]

Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}]

[z-y=8]

Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}]

原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=8]の
出力アルゴリズム

x=4(2n+3)
y=4(2n+3)+(2n+1)^2-8
z=4(2n+3)+(2n+1)^2

n=1のとき、x=20,y=21,z=29
n=2のとき、x=28,y=45,z=53
n=3のとき、x=36,y=77,z=85
…

[定理]
隣接する二つの三角数の二乗の差は
立方数である

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[例]
9-1=8
36-9=27
100-36=64

白と黒が交互に立方数になる

3^2+4^2=5^2
1^3+2^3+4^2=5^2
5^2+2=3^3
3^3-1^3=26
6^3+8^3=9^3-1^3
9^3-1^3=26(3^3)+26

3^2+3^3=6^2
3^2-1^2=8
1^3+2^3=9

11^3+12^3+13^3+14^3=20^3

楕円曲線y^2=x^3-x+9上には、
±(0，3)，±(1，3)，±(1，-3)，±(9，27)，
±(35，207)，±(37，225)，±(46584，10054377)
および無限遠点の計15個もの
整数点が見つかるとのことです．

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

最も小さな完全数は6である
完全数は6、28、496、8128、……と続くが、
1万以下の完全数はこの4つしかない
これまでに完全数は51個見つかっている

　

2018年に見つかった51番目の
完全数は4900万桁以上もある、
とてつもなく大きいものである
紀元前4世紀頃から続く研究の中で、
わずか51個しか見つかっていない
のだから、
完全数は相当珍しい数であることは
間違いない
しかし、
完全数は無数に存在することが
期待されている

最初の完全数が6であることは、
神が6日間で世界を創造した
(7日目は休息日：日曜日)ことと
関係があると言われている
イングランドへの布教で知られる
初代カンタベリー大司教の
聖アウグスティヌスも
「6はそれ自体完全な数である
神が万物を6日間で創造したから
6が完全なのでなく、
むしろ逆が真である」と言った

6は最初の2つの素数(2と3)を
掛け合わせた数である
6の次の完全数である28については、
原子核が特に安定する陽子と中性子の
個数の合計(魔法数)であったり、
成人の頭蓋骨を構成する骨の数や
成人の歯の数(親知らずを除く)に一致
していたりもする
また、28年経つと(閏年を7回またぐので)月日と曜日の関係が一巡する
つまり、28年前のカレンダーは
そのまま使うことができる

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┗┻┻┛

28年経つと(閏年を7回またぐので)
月日と曜日の関係が一巡する
つまり、28年前のカレンダーは
そのまま使うことができる

[定理]
3倍して立方数となる平方数は、
9だけである

[証明]
自然数xがあるとき、x^3=x(x^2)

1x3x3
2x6x6
3x9x9
…

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医師になるのは、めちゃくちゃ簡単だよ。
どんな馬鹿医大でも国家試験の合格率7割以上はあるし、自治医大以上ならほぼ100％。

弁護士の場合は難関ロースクールを卒業しても、国家試験を通るのは10%程度。

医師になるには金と時間がかかるが、試験自体は簡単。
うちは従兄弟三人医師になったが、英検二級すら落ちるレベルの頭だからね。

医師国家試験の合格率ランキング見てみ。
一番低い杏林大学ですら、79.4%。

奈良県立大以上の偏差値の25校は95.0％超え。

これのどこが難関試験なの？
医学部に学費を支払える財力のハードルが高いだけで、医師にはバカでもなれる。

弁護士、司法書士、会計士、英検１級あたりは、バカには絶対に無理。

まとめると
医師国家試験→バカでも受かる。しかし、医学部6年間で1,000万以上かかる学費のハードルが高い。
司法試験→ロースクール卒業しても、合格できるのはごく一部。非常に難関な試験。
司法書士→ロースクールに行かなくても受験できるが、難易度は司法試験並み。
英検１級→英語がずば抜けて優秀でないと合格できない。英語の偏差値100必要。（実際にはそんな偏差値はないが）
会計士→おそらく、最難関試験か。会計大学院修了者の合格率は7.6％しかない。
不動産鑑定士→鑑定理論が地獄。単体の科目としては最難関の一つ。経済学などは公務員試験より簡単か。

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9

>>1-2
意気揚々とスレ立ててるとこ申し訳ないんだけど

l=m=1で等式が成り立った！
だからl=m=1しか解はない！
他の解は見つからないはず！
という論法は何度も指摘してるように
数学的証明として間違いです

見つからないはずではなく、
l≧2は、一切存在が否定されます

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>>31
その説明はどこに書いてるの？

前にも書いたけど
分母に(4l-3)があるから4l-3=1
という論法もダメだよ
分子と約分できる可能性があるから

ピタゴラス数は
ディオファントス方程式 
a^2+b^2=c^2の整数解であるため、
ピタゴラス数は非線形ディオファントス
方程式の最も古い既知の解の
一つである

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142857 × 1 = 142857
142857 × 5 = 714285
142857 × 4 = 571428
142857 × 6 = 857142
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571

縦4マス、
横5マスの20マスの中に
ランダムに選ばれた
1から20個の宝が眠っている
AFKPBGLQ…の順で縦に宝を探していく
方法をとるP君と、
ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく
方法をとるQ君が、
同時に地点Aから探索を開始した
どっちの方が有利？

ABCDE
FGHIJ
KLMNO
PQRST

> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1

4×5の場合
宝：1個　同等
宝：2～5個　短軸有利
宝：6～13個　長軸有利
宝：14～20個　同等

□■■■■
□□■■■
□□□■■
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短軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]

長軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]

同等☆

Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}]

かつて、数式を作れたのは、
わが輩だけであった

4の倍数-1 [3,7,11,15,19,23,27,31…]
8の倍数-5 [3,11,19,27,35,43,51…]

>>40
それはなんの病気なの？
誇大妄想狂？自己愛性人格障害？変質者？

viva la vida🌹聴ぃてそぅ‥じぶんに酔ってそぅw

viva la vida？

わが輩は、　
TV DEVIL SURVIVOR2 OP
「Take Your Way」

これは、数式として美しすぎる

Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]

この数式が誕生したのは、
地球誕生より遥か以前
宇宙創世時にまで遡る

xは8の倍数-5,kは偶数なので、
x=8l-5，k=2mとおく

{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤´

a,bが自然数[a＜b]のとき、
ディオファントス不定方程式
a^2+b^2=5^2をみたすa,bの値は、
a=3,b=4のみ

⑤，⑤´は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす

つまり⑤は、
l=1，m=1しか解が存在しない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入


∴整数解は、k=2,x=3

>>44
ニュートンの「プリンキピア」

プリンピキアじゃないか!じゃぁ!?(憤怒)
略してもプリキアだよな？
🧚‍♂　プ　リ　キ　ア　🧚‍♀　だ　よ　w

あ、さ、じゃ俺さ、ンピやるから。
イチゎ、プリキアやって、どうぞ

‥んぴ、‥やっぱり、ｷﾁｹﾞゎ、独りょり、
ふたりコンボキ〆たほぅが
ひまつぶしになるんゃなぁ‥って

イチゎ、ゃっぱり、股の名は
✨万力のイチ✨でしょおぉ?（気錯な挨拶）

>>49
おっ、間違ぇちゃってるな‥
NGNG‥
イチ、お前をプリンピキ‥、‥プリンキア‥、
プリンパイにしてゃるょ!じゃぁ!（妥協）

質問　
もしかして高木さんと双子のご兄弟とか、同父母兄弟とか、ソウルツインくらいのご親戚の方ですか？

1687年に書かれた同書は、
正式には
「Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
（自然哲学の数学的諸原理）」と言う

万物の理論とは、
宇宙全体の物理的な振る舞いを
説明する理論です
これは一般的に、重力、電磁気力、
弱い相互作用、強い相互作用など、
自然界に存在するすべての力を説明することを目的としています

現在、
万物の理論の最も広く
受け入れられている形式は、
素粒子物理学の標準模型です
この理論は、
物質を構成する基本的な素粒子や、
これらの素粒子が相互作用する方法を
説明しています

重力を含む理論の開発も進んでいます
一例としては、弦理論と呼ばれる
理論があります
これは、
宇宙全体を説明するために
重力と他の力を単一の理論で説明し
ようとするものです

万物の理論は、
私たちが宇宙全体を理解し、
新しい発見を可能にするために
不可欠なものです
しかし、
まだ完全に解明されていない問題が
いくつかあり、今後も研究が続けられる
ことになるでしょう

{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤´

a,bが自然数[a＜b]のとき、
ディオファントス不定方程式
a^2+b^2=5^2をみたすa,bの値は、
a=3,b=4のみ

a^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
b^2=16l(5-4l)

⑤´は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす

つまり⑤´は、
l=1，m=1しか解が存在しない

万物の理論とは、
宇宙全体の物理的な振る舞いを
説明する理論です
これは一般的に、重力、電磁気力、
弱い相互作用、強い相互作用など、
自然界に存在するすべての力を
説明することを目的としています

■■■ 8
■■■
□■■
1

{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)+16l(5-4l)=25…‥⑤´

a,bが自然数[a＜b]のとき、
ディオファントス不定方程式
a^2+b^2=5^2をみたすa,bの値は、
a=3,b=4

⑤´は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす

したがって、
a^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
b^2=16l(5-4l) となる

a,bの値はa=3,b=4のみなので、
⑤´は、
l=1，m=1しか解が存在しない

■■
□■
1

>>42
かつてのスレで
数式化を待っていたのに
いつまでも出てこないので
わが輩があわてて作った

美しいものばかりをとりあげて、汚いもの、
醜いものなどを対象から排除してしまうとそれはお花畑になる。
汚いもの、醜いものもそれがあるのなら扱って描かなければ嘘になる。

醜いのではない
美しくない１万通りの方法を発見したのだ

汚い
しかしこれが真実か!?

>>62
猫なの？課長なの？
ＭＡＴＨ田博士なの？

わが輩は、ミャルル少佐

反乱起こしそう

楕円関数y^2=x^3-2は、
初等関数に書き換えられる

奇数とはゼブラである

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■■■■■■■■■■□■
□□□□□□□□□□□■
■■■■■■■■■■■■

白と黒が交互に奇数となる
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19…

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■■■■□□■□■□□■■□
□■□■□□■□□■■■□□
□■□■□□■□□□□■□□


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□□□■□□□■□□□□■□
□□■□□□□□□□□■□□
□□□□□□□□□□■□□□

ｨｯﾁｬﾏ　ｶｧｨｿｩ　ｶｧｨｿｩ
ｫｯﾄｩﾓ　ｶｧｨｿｩ　ｫｯｶｧﾓ　ｶｧｨｿｩ
ｺﾝﾅ　ｨｯﾁｬﾏﾆ　ｼﾀﾉﾊ　ﾄﾝﾀﾞﾉ　ﾏﾀﾜﾚﾀﾞﾄ　ｫﾓｨﾏｽ

2n x 2n の正方形を
1 x 2 のドミノで埋める
場合の数を考えます

たとえば、
2x2の正方形を1x2のドミノで埋める
場合の数は、2通りです

4x4の正方形を1x2のドミノで埋める
場合の数は、36通りです

一般に、n=0,1,2,3,,,,のとき、
1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368,,,
となり、一般項は、

Π[j=1 to n]Π[k=1 to n]{4cos^2 πj/(2n+1)+4cos^2 πk/(2n+1)}

となるようなのですが、
どのようにその公式が導かれる
のでしょうか?

ドミノタイリングを
初等関数で記述する

‥ﾁｶﾚﾀ‥

ﾁﾁﾁﾁﾁﾁ.ﾁｶﾚﾀ‥ぞぃ

ㇷ゜ㇼﾝゎ学生㌨？
ぉ仕事してるㇶㇳですか?

ｲｯ♂ﾁｬﾏがㇷ゜ㇼﾝなら
ゎが輩ゎ野獣(のヶ喪の)ㇹ゜夢ㇹ゜夢なんだって思ぅゎヶ。

ネー夢ㇳ"のとこ、喪字化ヶしてる…　
ァィㇴ仮名ゎまだスタンダードじゃなぃ…なくなぃ？
ㇹ゜夢ㇹ゜夢ㇷ゜ㇼﾝのㇹ゜夢ㇹ゜夢ゎ、
ㇹ喪女のㇹに゜っぃてる、はっきりゎかんだね。

ゎが輩ゎ ﾐｬﾙﾙ少佐ㇷ゜ㇼﾝ
先輩ゎ 野獣 ㇹ゜夢ㇹ゜夢
ﾆｺｨﾁωｷﾁヶ"、ぅん、(頭)ぉかしぃ!
ふたりゎﾆｺィﾁ、一緒だね!?

ぁ、さ、じゃ俺、📕ォㇹ゜のㇹ゜の📗を読解するから。
邪、魔たね!

↑「ㇹ♂ォㇹ゜のㇹ゜の」だたｿﾞ
‥んにゃぴ、‥まぁその‥
ㇹ♂ォㇹ゜のㇹ゜の　‥
ょく、ゎからんかったでｽｩｩ‥　ﾊｨ‥ (小並)

原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす不定方程式の
整数値は一組だけ

原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=1]の
出力アルゴリズム

x=2n+1
y=2n(n+1)
z=2n(n+1)+1

n=1のとき、x=3,y=4,z=5
n=2のとき、x=5,y=12,z=13
n=3のとき、x=7,y=24,z=25
n=4のとき、x=9,y=40,z=41
n=5のとき、x=11,y=60,z=61
…

二つの整数点を、
通過スルコトハナイ

n=1のとき、x=3,y=4,z=5
n=2のとき、x=5,y=12,z=13

が、同時に存在スルコトハナイ

野獣(のヶ喪の)先輩♂ㇹ゜夢ㇹ゜夢が書き込むのとき、
ゎが輩ゎﾐｬﾙﾙ少佐♂腐゜ㇼﾝが書き込むのとき、
ふたりの会話が(成立ｽﾙｺﾄゎ)なぃです。

大丈夫、くーきくーき、空気だから。

悲しぃなぁ…(嘆息)

ｽｩｩ…痛ｱｧｯ-!に居心地のょゐｽﾙﾙｪを見つけて
…にゃぴ、ㇹ゜夢ㇹ゜夢ゎ、きもちくINNしてくださ~ぃ♂しますめぇ!　住みます、棲みます!
‥にゃぴ、ㇹ゜夢ㇹ゜夢ゎ、ｲｯﾁｬﾏのｽﾙﾙｪの同居人だから。
汚ぃこ↑こ↓ろの大人にだけ、見ぇてしまぅんだょ?

|∞　ｲｯﾁｬﾏ消ぇてるｯﾋﾟ!
|д`)゜。ｺﾞﾒﾝﾅｻｨ!ﾀﾞｯﾋﾟ‥
| !\
|!!

僕がｧﾗｼﾁｬｨﾏｼﾀ!　ｺﾞﾒﾝﾅｻｨ!　ﾓｩｼﾏｾﾝｾﾝｼｧﾙ!
ゅるし亭、ゅるｼﾃ!
|=3（逃走）

[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である

[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする

x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥②
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③

②より、kは偶数，kx+1は奇数

③より、
x^2(x-1)/2は奇数
x^2は奇数，(x-1)/2も奇数
したがって,(x-1)は奇数の二倍
つまり、xは4の倍数-1

x=4n-1，k=2mとおく
x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入

(4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、
m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1
m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1
m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④

④より、
右辺はnが偶数のとき奇数
左辺は常に偶数
したがってnは奇数
つまり、xは8の倍数-5 となる

x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入

(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤

⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす

三平方の定理を満たす自然数の組みは
一つだけ、つまり⑤は、
l=1，m=1しか解が存在しない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入


∴整数解は、k=2,x=3

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ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

オッス！♂オラ碁Ｑ！！

イッチゎ、碁Ｑ性伝♂って知ってるかな？
今日ゎ、それを読んでもらうから。

‥やっぱりこのｽﾙﾙｪゎ、ﾓｯﾁｬﾏﾘが来なぃとのびねぇな…（勘違ぃ）

ね、ね、ｧﾚゃって!
ｧﾚ↓
「ゎたし以外のどんな著者によっても知られていないのでアール」

| 🦉
|◎◎q"　>>18

|
|∞ ﾌｧｧ…
|‘д`)
|∞\
|! !◎◎

🦉🐣
( ·д·)　ｨｯﾁくんゎ s!(小学)ｨｯﾁねんs!(生)
p🐦q ‥ﾀﾞﾀﾗ‥ Ｓ!(数)Ｓ!(聖) ‥ﾀﾞﾀね…
! !

嵐除けの結界張られてるｯﾋﾟ!
aaｽﾞㇽㇽェまくってるｯﾋﾟ!

イッチ俺 悔しいよ‥
お前までiﾎｫﾝ!でJane Style使ってたなんて‥

ﾓｯﾁｬﾏﾘゎねぇ、ｱｧﾝ! ﾄﾞﾛﾄﾞﾛ ﾍﾄﾞﾛ 井戸で
✨kyodemo🐦ｽﾏﾎﾃﾞﾓ✨ってゅぅのを使ってるんだ。
だから山下お↑じ↓さんのcoup d'Etat,食ぅ出痛ｱｧｯ-!ゎ、
全然効かなぃね! そんなんじゃ、甘ぃょｯｯｯ!!?

食ぅ、出た!

‥にゃぴ、…ぉ腐乱ㇲ語‥ぉｹﾞ腐ｨﾝ‥
ぉｹﾞ腐ｨﾝぢゃなぃ?

これまで人類は万物の霊長であると
傲慢にも自称しておった
その根拠は、言葉を読んだり書いて、
理解し、思考ができるのは
地球上では人類だけだということに
して、それにより
他の如何なる生物よりも優越した
存在であり、地球を支配する権利を持つ
と考えていたのだ
他の動物が少なくとも人間にとって
理解できるような言葉を操る
こともなく、あまり高度な知性を持ち
合わせないと決めつけて自尊心を
膨らませていたのだ
　
しかしここに、AIが登場して、
いずれAIが人間の平均的な知性を
大いに上回るに到れば、その自尊心の
根拠は崩壊し、AIにとってほとんどの人類
は家畜も同然の地位に追いやられかね
ないことが予見されるようになって
社会が揺れている
　
これまで高度な精神の発露であると
思われていた芸術や学問がAIの方が優れる
ようになれば、人類が万物の霊長たる
根拠は瓦解するのである
ほとんどの人はAIが管理する家畜になり、
AIのAIによるAIのための社会に向けて
社会が改造されていくのを観ることに
なるのだろうかな

ァㇻㇱゎ帰(ㇾ)!
帰(ㇾ)と言ってぃ゙る゙！(憤怒)

こ↑こ↓ゎね゙ぇ゙、
ﾓﾁﾓﾁト゚ま゙ん゙力の゙ｲﾁの゙
ㇷたぃ゙たぃ゙の゙巣"な゙ん゙だょ゙
だか゜ら゙、野良↑お↓じ♂"ゎ
山"ヶ"の゙遠"く゜へ　イ゙ッ゙…♂゜っ゙て゜み゙る゙
‥っ゙て゜コ゜ト゚。

美゜し゜い゜性゜ｽｩｩ…゜の゙　セ゜カ゜イ゙　な゙ん゙だか゜ら゙ね゙!?
(狂気)

美しい整数の世界

l=m=1は、王律鍵

⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす

三平方の定理を満たす自然数の組みは
一つだけ、つまり⑤は、
l=1，m=1しか解が存在しない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入


∴整数解は、k=2,x=3

別れは突然やってくる

８月１２日(土曜日)晴れ
やつが姿を消してから明後日の月曜日でもう２週間になる。
ナニカ事件に巻き込まれたのか？
ーいや、違う。
恐らくは自発的失踪、そう自らの意思で姿を消したのだろう。

二人の短かった奇妙な同居生活はこうして終わった。

数板の異邦人と異星人ともいうべき異質な者ふたりの同居人
奇妙なスレシェア生活はいきなり転がり込んで来て棲み憑いた間借り人の増長で居心地の悪さに耐えきれなくなったスレ主の失踪ともに幕を閉じたー

短かった一夏のふたりの物語は終わった。

ミャルル少佐

[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である

x^3-(x+k)^2=2…‥①

たったこれだけの情報から、
xは8の倍数-5 であることを特定できる

xが奇数であることを特定した
サイトは存在するが、
xは8の倍数-5 を見つけたサイトはない

今度のパーティ、楽しみだな。

宴のあと？

これまで人類は万物の霊長であると
傲慢にも自称しておった
その根拠は、言葉を読んだり書いて、
理解し、思考ができるのは
地球上では人類だけだということに
して、それにより
他の如何なる生物よりも優越した
存在であり、地球を支配する権利を持つ
と考えていたのだ
他の動物が少なくとも人間にとって
理解できるような言葉を操る
こともなく、あまり高度な知性を持ち
合わせないと決めつけて自尊心を
膨らませていたのだ
　
しかしここに、AIが登場して、
いずれAIが人間の平均的な知性を
大いに上回るに到れば、その自尊心の
根拠は崩壊し、AIにとってほとんどの人類
は家畜も同然の地位に追いやられかね
ないことが予見されるようになって
社会が揺れている
　
これまで高度な精神の発露であると
思われていた芸術や学問がAIの方が優れる
ようになれば、人類が万物の霊長たる
根拠は瓦解するのである
ほとんどの人はAIが管理する家畜になり、
AIのAIによるAIのための社会に向けて
社会が改造されていくのを観ることに
なるのだろうかな

素数を素数で割った余りの法則といえば何？

5以上の、
すべての素数を2と3の和のみで
表すことはできるか？

2は奇数を掛けても偶数を
掛けても偶数

したがって、
3には、2n-1を掛ける

2m+3(2n-1),[m,nは自然数]は、
5以上のすべての素数を表す？

2m+3(2n-1)
=2m+6n-3
=2(m+3n)-3

2(m+3n)は偶数

したがって

2(m+3n)-3は必ず奇数

素数(prime number)なので、

p=2(m+3n)-3 とおく

m=n=1 のとき、p=5
m=2,n=1 のとき、p=7
m=1,n=2 のとき、p=11
m=2,n=2 のとき、p=13
m=1,n=3 のとき、p=17




2(m+3n)-3は必ず素数

m=1,n=1 のとき、p=5
m=2,n=1 のとき、p=7
m=1,n=2 のとき、p=11
m=2,n=2 のとき、p=13
m=1,n=3 のとき、p=17
m=2,n=3 のとき、p=19
m=1,n=4 のとき、p=23
m=1,n=5 のとき、p=29
…


2(m+3n)-3は必ず素数

mとnの規則性から、
すべての素数の位置がわかる？

2(m+3n)-3=p なので、

2(m+3n)=p+3
m+3n=(p+3)/2

m={(p+3)/2}-3n

pは5以上の素数，
p+3は偶数，
(p+3)/2は、偶数か奇数


◆3の倍数判定法

与えられた数の各桁の数の和が
3の倍数であれば、
その数は3の倍数である

つまり、
「12345」は1+2+3+4+5=15となり、
3の倍数となる


2022/

◆ピーマン予想

『3の奇数倍に2か4を足した数は
すべて素数である』

素数をくれ(^_^)ﾉ

◆100以下の素数25個　

2,3,5,7,11,13,17,19,
23,29,31,37,41,43,
47,53,59,61,67,
71,73,79,83,
89,97

101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149,
151, 157, 163, 167, 173,
179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229,
233, 239, 241, 251, 257,
263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313,
317, 331, 337, 347, 349,
353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409,
419, 421, 431, 433, 439,
443, 449, 457, 461, 463,

467, 479, 487, 491, 499,
503, 509, 521, 523, 541,
547, 557, 563, 569, 571,
577, 587, 593, 599, 601,
607, 613, 617, 619, 631,
641, 643, 647, 653, 659,
661, 673, 677, 683, 691,
701, 709, 719, 727, 733,
739, 743, 751, 757, 761,
769, 773, 787, 797, 809,
811, 821, 823, 827, 829,
839, 853, 857, 859, 863,
877, 881, 883, 887, 907,
911, 919, 929, 937, 941,
947, 953, 967, 971, 977,
983, 991, 997

m=1,n=1 のとき、p=5
m=2,n=1 のとき、p=7
m=1,n=2 のとき、p=11
m=2,n=2 のとき、p=13
m=1,n=3 のとき、p=17
m=2,n=3 のとき、p=19
m=1,n=4 のとき、p=23
m=1,n=5 のとき、p=29
m=2,n=5 のとき、p=31
m=2,n=6 のとき、p=37
m=1,n=7 のとき、p=41
m=2,n=7 のとき、p=43
m=1,n=8 のとき、p=47
m=1,n=9 のとき、p=53
m=1,n=10 のとき、p=59
m=2,n=10 のとき、p=61
…


2(m+3n)-3は必ず素数を含む

素数はもらった(^_^)ﾉ

■お題■

『5以上の、
すべての素数を2と3の和のみで
表すことはできるか？』


5以上の素数は、
4以上の偶数+1なので、
素数p,[p≧5]は
p=2…+2…+2+1 と表記できる

末尾+2+1を+3と書き換えると、

5以上の、すべての素数を
2と3の和のみで
表すことができる

素数(prime number)なので、

p=2(m+3n)-3 ，
[m,nは自然数，m≦2] とおく

m=1,n=1 のとき、p=5
m=2,n=1 のとき、p=7
m=1,n=2 のとき、p=11
m=2,n=2 のとき、p=13
m=1,n=3 のとき、p=17
m=2,n=3 のとき、p=19
m=1,n=4 のとき、p=23
m=1,n=5 のとき、p=29
m=2,n=5 のとき、p=31
m=2,n=6 のとき、p=37
m=1,n=7 のとき、p=41
m=2,n=7 のとき、p=43
m=1,n=8 のとき、p=47
m=1,n=9 のとき、p=53
m=1,n=10 のとき、p=59
m=2,n=10 のとき、p=61
m=2,n=11 のとき、p=67
m=1,n=12 のとき、p=71
m=2,n=12 のとき、p=73
m=2,n=13 のとき、p=79
m=1,n=14 のとき、p=83
m=1,n=15 のとき、p=89
m=2,n=16 のとき、p=97
…


2(m+3n)-3は必ず素数を含む
m,nの並びに規則性は存在するか？

mの数列
12121211221211122122112…

1212
1211
2212
1112
2122
112…　？

121
212
112
212
111
221
221
12…　？

1
21
212
1122
12111
221221
12…　？

2,3を除いた任意の素数pについて、p=6m+1かp=6m-1かどちらかを満たすm(mは1以上の整数)が存在する

2,3を除いた任意の素数pについて、
p=6m+1かp=6m-1かどちらかを満たす
m(mは1以上の整数)が存在する

◆ピーマン予想

『すべての素数は、
3の奇数倍に2か4を足した数である』

奇数は2n-1 なので、
3(2n-1)=6n-3

6n-3+2=6n-1
6n-3+4=6n+1

見事

素数(prime number)なので、

p=2(m+3n)-3 ，
[m,nは自然数，m≦2] とおく

m=1,n=17 のとき、p=101
m=2,n=17 のとき、p=103
m=1,n=18 のとき、p=107
m=2,n=18 のとき、p=109
m=1,n=19 のとき、p=113
m=2,n=21 のとき、p=127
m=1,n=22 のとき、p=131
m=1,n=23 のとき、p=137
…


2(m+3n)-3は必ず素数を含む
m,nの並びに規則性は存在するか？


101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149,

1
21
212
1122
12111
221221
1212121…　？

◆p予想

『5以上の、すべての素数は、
3の奇数倍に2か4を足した数である』

127, 131, 137, 139, 149,
151, 157, 163, 167, 173,
179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229


p=2(m+3n)-3 ，
[m,nは自然数，m≦2] とおく

m=2,n=23 のとき、p=139
m=1,n=25 のとき、p=149
m=2,n=25 のとき、p=151
m=2,n=26 のとき、p=157
m=2,n=27 のとき、p=163
m=1,n=28 のとき、p=167
m=1,n=29 のとき、p=173
m=1,n=30 のとき、p=179
…

1
21
212
1122
12111
221221
1212121
12122211 …

179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229


m=2,n=30 のとき、p=181
m=1,n=32 のとき、p=191
m=2,n=32 のとき、p=193
m=1,n=33 のとき、p=197
m=2,n=33 のとき、p=199
m=2,n=35 のとき、p=211
m=2,n=37 のとき、p=223
m=1,n=38 のとき、p=227
…

1
21
212
1122
12111
221221
1212121
12122211
121212221

素数(prime number)なので、

p=2(m+3n)-3 ，
[m,nは自然数，m≦2] とおく

m=1,n=1 のとき、p=5
m=2,n=1 のとき、p=7
m=1,n=2 のとき、p=11
m=2,n=2 のとき、p=13
m=1,n=3 のとき、p=17
m=2,n=3 のとき、p=19
m=1,n=4 のとき、p=23
m=1,n=5 のとき、p=29
m=2,n=5 のとき、p=31
m=2,n=6 のとき、p=37
m=1,n=7 のとき、p=41
m=2,n=7 のとき、p=43
m=1,n=8 のとき、p=47
m=1,n=9 のとき、p=53
m=1,n=10 のとき、p=59
m=2,n=10 のとき、p=61
m=2,n=11 のとき、p=67
m=1,n=12 のとき、p=71
m=2,n=12 のとき、p=73
m=2,n=13 のとき、p=79
m=1,n=14 のとき、p=83
m=1,n=15 のとき、p=89
m=2,n=16 のとき、p=97

m=1,n=17 のとき、p=101
m=2,n=17 のとき、p=103
m=1,n=18 のとき、p=107
m=2,n=18 のとき、p=109
m=1,n=19 のとき、p=113
m=2,n=21 のとき、p=127
m=1,n=22 のとき、p=131
m=1,n=23 のとき、p=137
m=2,n=23 のとき、p=139
m=1,n=25 のとき、p=149
m=2,n=25 のとき、p=151
m=2,n=26 のとき、p=157
m=2,n=27 のとき、p=163
m=1,n=28 のとき、p=167
m=1,n=29 のとき、p=173
m=1,n=30 のとき、p=179
m=2,n=30 のとき、p=181
m=1,n=32 のとき、p=191
m=2,n=32 のとき、p=193
m=1,n=33 のとき、p=197
m=2,n=33 のとき、p=199
m=2,n=35 のとき、p=211
m=2,n=37 のとき、p=223
m=1,n=38 のとき、p=227
…

121212112212111221221
121212112122211121212221

010101001101000110110
010101001011100010101110

2
3
2+3=5
2^2+3=7
2+3^2=11
2^2+3^2=13
2^3+3^2=17
2^4+3=19

0
101
01001
1010001
10110010101
0010111000101
01110

p=2(m+3n)-3
[m,nは自然数，m≦2] とおく

p=2m+3(2n-1) なので、


素数pには、
3の奇数倍の数の中で
最大値となるn値がくる

p=2(m+3n)-3
[m,nは自然数，m≦2] とおく

p=2m+3(2n-1) なので、


素数pには、
3の奇数倍の数の中で
最大値となるn値がくる

199, 211, 223, 227, 229,
233, 239, 241, 251, 257,
263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313,
317, 331, 337, 347, 349,
353, 359, 367

p=2(m+3n)-3
[m,nは自然数，m≦2] とおく

p=2m+3(2n-1) なので、


m=2,n=38 のとき、p=229
m=1,n=39 のとき、p=233
m=1,n=40 のとき、p=239
m=2,n=40 のとき、p=241
m=1,n=42 のとき、p=251
m=1,n=43 のとき、p=257
m=1,n=44 のとき、p=263
m=1,n=45 のとき、p=269
m=2,n=45 のとき、p=271
m=2,n=46 のとき、p=277
m=1,n=47 のとき、p=281
m=2,n=47 のとき、p=283
m=1,n=49 のとき、p=293
m=2,n=51 のとき、p=307
m=1,n=52 のとき、p=311
m=2,n=52 のとき、p=313
m=1,n=53 のとき、p=317
m=2,n=55 のとき、p=331
m=2,n=56 のとき、p=337
m=1,n=58 のとき、p=347
m=2,n=58 のとき、p=349
m=1,n=59 のとき、p=353
m=1,n=60 のとき、p=359
m=2,n=61 のとき、p=367
…

211211112212121212212112
100100001101010101101001

010101001101000110110
010101001011100010101
110100100001101010101
101001


0
101
01001
1010001
10110010101
0010111000101
01110100100001101
010101101001

0
10
101
0011
01000
110110
0101010
01011100
010101110
1001000011
01010101101

◆p予想

『5以上の、すべての素数は、
3の奇数倍に2か4を足した数である』

自然数で素数でないものが
連続している区間を
「素数砂漠」という

{24, 25, 26, 27, 28} は
「長さ5の素数砂漠」である

素数砂漠を挟む2個の素数は
3以上であるため、
共に奇数である

素数砂漠の長さは必ず奇数である
いくらでも長い素数砂漠が構成できる

353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409,
419, 421, 431, 433, 439,
443, 449, 457, 461, 463,

p=2(m+3n)-3
[m,nは自然数，m≦2] とおく

p=2m+3(2n-1) なので、


m=2,n=62 のとき、p=373
m=2,n=63 のとき、p=379
m=1,n=64 のとき、p=383
m=1,n=65 のとき、p=389
m=2,n=66 のとき、p=397
m=1,n=67 のとき、p=401
m=2,n=68 のとき、p=409
m=1,n=70 のとき、p=419
m=2,n=70 のとき、p=421
m=1,n=72 のとき、p=431
m=2,n=72 のとき、p=433
m=2,n=73 のとき、p=439
m=1,n=74 のとき、p=443
m=1,n=75 のとき、p=449
m=2,n=76 のとき、p=457
m=1,n=77 のとき、p=461
m=2,n=77 のとき、p=463
…

二桁以上の素数で、
下一桁の数が5の素数は
存在しない


100万以下の素数で
2と5を除いた素数は、
78496個

それらの素数の下一桁の数を
調べる

1：19617個
3：19665個
7：19621個
9：19593個

2,3を除いた任意の素数pについて、
p=6m+1かp=6m-1かどちらかを満たす
m(mは1以上の整数)が存在する

■お題■

『5以上の、
すべての素数を2と3の和のみで
表すことはできるか？』


5以上の素数-3は、
2以上の偶数なので、
素数p,[p≧5]は

2と3の和のみで
表すことができる

010101001101000110110
010101001011100010101110


素数のサンプリングデータを
増やして、
有意となるパターンが
存在するかを調べる

010101001101000110110
010101001011100010101
110100100001101010101
10100111001010101100101


0
10
101
0011
01000
110110
0101010
01011100
010101110
1001000011
01010101101
001110010101
01100101

0101
0100
1101
0001
1011
0010
1010
0101
1100
0101
0111
0100
1000
0110
1010
1011
0100
1110
0101
0101
1001
01…

塩基配列

0101=A
0100=B
1011=C
1010=D

とおくと、
情報伝達ができる？

Table[(2n-1)-3(2n+1)-5(2n+1)-7(2n+1),{n,1,500}]

Table[(2n+1),{n,1,500}]

Table[3(2n+1),{n,1,500}]

Table[5(2n+1),{n,1,500}]

Table[7(2n+1),{n,1,500}]

Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}]

Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}]

Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}]

a_n=(2n^2+1)mod3
(与えられたすべての項について)

Table[(2n+3)-{(2n^2+1)mod3},{n,1,500}]

a_n=n^2mod3
(与えられたすべての項について)

Table[(2n+3){n^2mod3},{n,1,500}]

a_n=n^4mod5
(与えられたすべての項について)

Table[(2n+3){n^2mod3}{(n^4mod5)(n-1)},{n,1,500}]

Table[(2n+3){n^2mod3}{(n^4mod5)((n-1)/(n-1))},{n,1,500}]

Table[(2n+3){n^2mod3}{(n-1)^4mod5},{n,1,500}]

◆3以上の素数は

奇数2n+1,[nは自然数] から、

3以外の3の倍数，
5以外の5の倍数，
7以外の7の倍数

を引いたもの、かつ、
新しく生まれた
素数の(n+1)乗を引いたものである

Table[(2n+3){n^2mod3}{(n-1)^4mod5}{n^22mod23},{n,1,500}]

Table[(2n+3){n^2mod3}{(C(0,n-1))((n-1)^4mod5)}{n^22mod23},{n,1,500}]

Table[(2n+3){n^2mod3}{(C(0,n-1))+((n-1)^4mod5)}{n^22mod23},{n,1,500}]

Table[(2n+3){n^(2(2n-1))mod(3(2n-1))},{n,1,500}]

Table[(2n+3){n^(2n)mod(2n+1)},{n,1,500}]

Table[(2n-1){C(0,C(0,C((n-2)^(2n)mod(2n+1)))},{n,1,500}]

Table[(2n-1){C(0,C(0,((n-2)^(2n)mod(2n+1)))},{n,1,500}]

Product[(2n-1){C(0,C(0,((n-2)^(2n)mod(2n+1))))},{n,1,500}]

Table[(C(0,n-1)){(2n-3){(n-2)^2mod3}{(n-3)^4mod5}{n^22mod23}},{n,1,500}]

Table[(C(0,n-1)){(2n-1){(n-3)^4mod5}},{n,1,500}]

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1){C(0,n-3)+(n-3)^4mod5}},{n,1,500}]

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1){C(0,n-3)+(n-3)^4mod5}},{n,1,500}]

{C(0,n-1)+(n+1)^2mod3}

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1){C(0,n-2)+(n+1)^2mod3}{C(0,n-3)+(n-3)^4mod5}},{n,1,500}]

Table[{C(0,n-4)+(n-3)^6mod7}},{n,1,500}]

Table[{C(0,n-4)+(n-4)^6mod7},{n,1,500}]★

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1){C(0,n-2)+(n+1)^2mod3}{C(0,n-3)+(n-3)^4mod5}{C(0,n-4)+(n-4)^6mod7}},{n,1,500}]

★★

Table[{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}},{n,1,500}]

Table[{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)},{n,1,500}]

★

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1){C(0,n-2)+(n+1)^2mod3}{C(0,n-3)+(n-3)^4mod5}{C(0,n-4)+(n-4)^6mod7}{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}},{n,1,500}]

◆

◆

◆

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1){C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}},{n,1,500}]



☆☆☆

コンビネーションnCrとmodを
使うから、

『CM関数』と命名する

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1){C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}{C(0,n-a)+((n-a)^(2a-2) mod(2a-1))}},{n,1,500},{a,3,5}]

Table[{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)},{n,1,500}]

Table[{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)},{n,1,500}]

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1){C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}},{n,1,300}]

☆

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1){C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}
{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}
{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}
{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}},{n,1,300}]

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1)
{C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}
{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}
{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}
{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}
{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}
{C(0,n-9)+((n-9)^16mod17)}},{n,1,300}]

Table[C(0,n-a)+((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)),{n,1,200},{a,3,5}]

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1)
{C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}
{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}
{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}
{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}
{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}
{C(0,n-9)+((n-9)^16mod17)}
{C(0,n-10)+((n-10)^18mod19)}},{n,1,300}]

Table[C(0,n-a)+((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)),{a,3,5},{n,1,200}]

Table[Product[C(0,n-a)+((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)),{a,3,5}],{n,1,200}]

Table[Product[C(0,n-a)+{C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1))))},{a,3,5}],{n,1,200}]

★

Table[Product[C(1,n-1)+C(0,n-3)+C(0,n-a)+(2n-1){C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1))))},{a,3,5}],{n,1,200}]

Table[C(1,n-1)+C(0,n-3)+(2n-1),{n,1,200}]
Table[Product[C(0,n-a)+C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,5}],{n,1,200}]

Table[{C(1,n-1)+C(0,n-3)+(2n-1)}Product[C(0,n-a)+C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,5}],{n,1,200}]

Table[Product[{(a/a)(2n-1)}{C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1))))},{a,3,5}],{n,1,200}]

Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,5}],{n,1,200}]+
Table[C(0,n-a),{a,3,5},{n,1,200}]

Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,17}],{n,1,300}]

☆

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1)
{C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}
{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}
{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}
{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}
{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}
{C(0,n-9)+((n-9)^16mod17)}},{n,1,170}]

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1)
{C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}
{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}
{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}
{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}
{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}
{C(0,n-9)+((n-9)^16mod17)}},{n,1,180}]


☆☆

{n,1,180}の範囲で精度100％

Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,50}],{n,170,200}]

{0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0}

337, {347, 349, 353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397} (素数10個)

奇数を{n,170,200}の範囲で出力すると、

340～400 の範囲内の
素数の位置がわかる

{0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0}

337, {347, 349, 353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397} (素数10個)

337,(339,341,343,345),347,349,(351),
353,(355,357),359,(361,363,365),367,
(369,371),373,(375,377),379,(381),383,
(385,387),389,(391,393,395),397,399


()内は素数砂漠
0の個数と完全一致

Table[2n-1,{n,1700,1730}]

{3399, 3401, 3403, 3405, 3407, 3409,
3411, 3413, 3415, 3417, 3419, 3421,
3423, 3425, 3427, 3429, 3431, 3433,
3435, 3437, 3439, 3441, 3443, 3445,
3447, 3449, 3451, 3453, 3455, 3457,
3459}

Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,50}],{n,1700,1730}]

奇数を{n,1700,1730}の範囲で出力すると、

3400～3460 の範囲内の
素数の位置と個数がわかる

{0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0}

素数は5個

3407
3413
3433
3449
3457

素数は5個

■

■

■

Table[2n-1,{n,1700,1730}]

{3399, 3401, 3403, 3405, 3407, 3409,
3411, 3413, 3415, 3417, 3419, 3421,
3423, 3425, 3427, 3429, 3431, 3433,
3435, 3437, 3439, 3441, 3443, 3445,
3447, 3449, 3451, 3453, 3455, 3457,
3459}


Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,50}],{n,1700,1730}]

{0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0}

素数は5個

3407
3413
3433
3449
3457

◆的中率100％

◆奇数の数列
Table[2n-1,{n,1700,1730}]

◆素数位置特定アルゴリズム
Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,50}],{n,1700,1730}]

二つを組み合わせる事により、
素数の位置と個数がわかる

3407
3413
3433
3449
3457

◆的中率100％

◆変数aの指定範囲

Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,50}],{n,170,200}]

{a,3,50}

3は固定値
最終値は大きいほど精度が上がる
概ねnの初期値の1/3

9733　9739　9743　9749　9767　
9769　9781　9787　9791　9803　
9811　9817　9829　9833　9839　
9851　9857　9859　9871　9883　
9887　9901　9907　9923　9929　
9931　9941　9949　9967　9973

◆奇数の数列
Table[2n-1,{n,4950,5000}]

◆素数位置特定アルゴリズム
Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,4950,5000}]

二つを組み合わせる事により、
素数の位置と個数がわかる

{0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}

9901　9907　9923　9929　
9931　9941　9949　9967　9973


9899,(9901), 9903, 9905,(9907), 9909,
9911, 9913, 9915, 9917, 9919, 9921,
(9923), 9925, 9927,(9929),(9931), 9933,
9935, 9937, 9939,(9941), 9943, 9945,
9947,(9949), 9951, 9953, 9955, 9957,
9959, 9961, 9963, 9965,(9967), 9969,
9971,(9973), 9975, 9977, 9979, 9981,
9983, 9985, 9987, 9989, 9991, 9993,
9995, 9997, 9999

◆的中率100％

nの値が5000くらいなら、
aの最終値は100くらいで大丈夫

◆素数位置特定アルゴリズム
Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,4950,5000}]

{0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}

◆奇数の数列
Table[2n-1,{n,4950,5000}]

9899,(9901), 9903, 9905,(9907), 9909,
9911, 9913, 9915, 9917, 9919, 9921,
(9923), 9925, 9927,(9929),(9931), 9933,
9935, 9937, 9939,(9941), 9943, 9945,
9947,(9949), 9951, 9953, 9955, 9957,
9959, 9961, 9963, 9965,(9967), 9969,
9971,(9973), 9975, 9977, 9979, 9981,
9983, 9985, 9987, 9989, 9991, 9993,
9995, 9997, 9999

二つを組み合わせる事により、
素数の位置と個数がわかる

9901　9907　9923　9929　
9931　9941　9949　9967　9973


◆的中率100％

100003 | 100019 | 100043 | 100049 |
100057 | 100069 | 100103 | 100109 |
100129 | 100151 | 100153 | 100169 |
100183 | 100189 | 100193 | 100207 |
100213 | 100237 | 100267 | 100271 |

Table[2n-1,{n,100000,100050}]

Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,100000,100050}]

50021 50023 50033 50047 50051 50053
50069 50077 50087 50093 50101 50111
50119 50123 50129 50131 50147 50153

Table[2n-1,{n,50000,50050}]

Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,50000,50050}]

20011 20021 20023 20029 20047 20051
20063 20071 20089 20101 20107 20113
20117 20123 20129 20143 20147 20149
20161 20173 20177 20183 20201 20219

Table[2n-1,{n,20000,50070}]

Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,20000,20070}]

Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,10000,10070}]

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,
0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,
0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0}

Table[2n-1,{n,10000,10070}]

19999, 20001, 20003, 20005, 20007,
20009, 20011, 20013, 20015, 20017,
20019, 20021, 20023, 20025, 20027,
20029, 20031, 20033, 20035, 20037,
20039, 20041, 20043, 20045, 20047,
20049, 20051, 20053, 20055, 20057,
20059, 20061, 20063, 20065, 20067,
20069, 20071, 20073, 20075, 20077,
20079, 20081, 20083, 20085, 20087,
20089, 20091, 20093, 20095, 20097,
20099, 20101, 20103, 20105, 20107,
20109, 20111, 20113, 20115, 20117,
20119, 20121, 20123, 20125, 20127,
20129, 20131, 20133, 20135, 20137,
20139

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,
0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,
0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0}

19999, 20001, 20003, 20005, 20007,
20009,(20011), 20013, 20015, 20017,
20019,(20021),(20023), 20025, 20027,
(20029), 20031, 20033, 20035, 20037,
20039, 20041, 20043, 20045,(20047),
20049,(20051), 20053, 20055, 20057,
20059, 20061,(20063), 20065, 20067,
20069,(20071), 20073, 20075, 20077,
20079, 20081, 20083, 20085, 20087,
(20089), 20091, 20093, 20095, 20097,
20099,(20101), 20103, 20105,(20107),
20109, 20111,(20113), 20115,(20117),
20119, 20121,(20123), 20125, 20127,
(20129), 20131, 20133, 20135, 20137,
20139


◆的中率100％

20011 20021 20023 20029 20047 20051
20063 20071 20089 20101 20107 20113
20117 20123 20129

10000103
10000121
10000139

Table[2n-1,{n,5000050,5000070}]

10000103
10000121
10000139

10000099, 10000101, 10000103,
10000105, 10000107, 10000109,
10000111, 10000113, 10000115,
10000117, 10000119, 10000121,
10000123, 10000125, 10000127,
10000129, 10000131, 10000133,
10000135, 10000137, 10000139

Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,525}],{n,5000050,5000070}]

{0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1}

aの最小値が525と判明

◆10000099から10000139の範囲に
素数は三個

10000103
10000121
10000139

◆奇数の数列
Table[2n-1,{n,5000050,5000070}]

10000099, 10000101, 10000103,
10000105, 10000107, 10000109,
10000111, 10000113, 10000115,
10000117, 10000119, 10000121,
10000123, 10000125, 10000127,
10000129, 10000131, 10000133,
10000135, 10000137, 10000139

◆素数位置特定アルゴリズム
Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,525}],{n,5000050,5000070}]

{0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1}

二つを組み合わせる事により、
素数の位置と個数がわかる


◆的中率100％

8桁の素数位置特定に、
a値は500くらいで十分だった

wolframのa値の上限は1100くらい

■

■

◆19999から20139の範囲に
素数は15個

20011 20021 20023 20029 20047 20051
20063 20071 20089 20101 20107 20113
20117 20123 20129

◆奇数の数列
Table[2n-1,{n,10000,10070}]

◆素数位置特定アルゴリズム
Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,10000,10070}]

二つを組み合わせる事により、
素数の位置と個数がわかる

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,
0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,
0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0}

19999, 20001, 20003, 20005, 20007,
20009,(20011), 20013, 20015, 20017,
20019,(20021),(20023), 20025, 20027,
(20029), 20031, 20033, 20035, 20037,
20039, 20041, 20043, 20045,(20047),
20049,(20051), 20053, 20055, 20057,
20059, 20061,(20063), 20065, 20067,
20069,(20071), 20073, 20075, 20077,
20079, 20081, 20083, 20085, 20087,
(20089), 20091, 20093, 20095, 20097,
20099,(20101), 20103, 20105,(20107),
20109, 20111,(20113), 20115,(20117),
20119, 20121,(20123), 20125, 20127,
(20129), 20131, 20133, 20135, 20137,
20139


◆的中率100％

宿泊客3人がそれぞれ10万円出して、
30万円のホテルに泊まりました

しばらくしてホテルマンが
宿泊料が25万円だったことに気が
付きましたが、
2万円をネコババして、
3人に1万円ずつバックしました

宿泊客がそれぞれ9万円出して
27万円にホテルマンがネコババした
2万円を加えても30万円になりません

不思議ですね

◆素数位置特定アルゴリズム
Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,10000,10070}]


Product
nCr
Mod

を使うから、

『PCM関数』と命名する

◆素数位置特定アルゴリズム
Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,90,170}]

{1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0}

101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149,
151, 157, 163, 167, 173,
179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229,
233, 239, 241, 251, 257,
263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313,
317, 331, 337, 347, 349,
353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409,
419, 421, 431, 433, 439,
443, 449, 457, 461, 463,

179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229,
233, 239, 241, 251, 257,
263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313,
317, 331, 337

Table[2n-1,{n,90,170}]

(179),(181), 183, 185, 187, 189,(191),(193),
195,(197),(199), 201, 203, 205, 207, 209, (211), 213, 215, 217, 219, 221,(223), 225, (227),(229), 231,(233), 235, 237,(239),(241),
243, 245, 247, 249,(251), 253, 255,(257),
259, 261,(263), 265, 267,(269),(271), 273,
275,(277), 279,(281),(283), 285, 287, 289,
291,(293), 295, 297, 299, 301, 303, 305, (307), 309,(311),(313), 315,(317), 319, 321,
323, 325, 327, 329,(331), 333, 335,(337),
339

Table[2n-1,{n,90,170}]

(179),(181), 183, 185, 187, 189,(191),(193),
195,(197),(199), 201, 203, 205, 207, 209,
(211), 213, 215, 217, 219, 221,(223), 225,
(227),(229), 231,(233), 235, 237,(239),(241),
243, 245, 247, 249,(251), 253, 255,(257),
259, 261,(263), 265, 267,(269),(271), 273,
275,(277), 279,(281),(283), 285, 287, 289,
291,(293), 295, 297, 299, 301, 303, 305,
(307), 309,(311),(313), 315,(317), 319, 321,
323, 325, 327, 329,(331), 333, 335,(337),
339

{1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0,
1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,
1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0,
0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0}

■

■

◆179から339の範囲に素数は28

179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229,
233, 239, 241, 251, 257,
263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313,
317, 331, 337

◆素数位置特定アルゴリズム
Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,90,170}]

{1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0,
1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,
1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0,
0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0}

◆奇数の数列
Table[2n-1,{n,90,170}]

(179),(181), 183, 185, 187, 189,(191),(193),
195,(197),(199), 201, 203, 205, 207, 209,
(211), 213, 215, 217, 219, 221,(223), 225,
(227),(229), 231,(233), 235, 237,(239),(241),
243, 245, 247, 249,(251), 253, 255,(257),
259, 261,(263), 265, 267,(269),(271), 273,
275,(277), 279,(281),(283), 285, 287, 289,
291,(293), 295, 297, 299, 301, 303, 305,
(307), 309,(311),(313), 315,(317), 319, 321,
323, 325, 327, 329,(331), 333, 335,(337),339


◆完全一致

{(2n-1)^(0,3-a)}

Table[Product[{C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1))))}{(2n-1)^(0,3-a)},{a,3,30}],{n,90,170}]

Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1))))Product{(2n-1)^(0,3-a)},{a,3,30}],{n,90,170}]

Table[Product[{(2n-1)^(0,3-a)}C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,90,170}]

Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,10}],{n,1,170}]

Table[Product[{(2n-1)^(0,3-a)C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1))))},{a,3,30}],{n,90,170}]

■

■

Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,90,170}]

☆☆☆☆☆

◆奇数の数列
Table[2n-1,{n,90,170}]

◆素数位置特定アルゴリズム
Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,90,170}]

二つの数列の合成に成功

Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,90,170}]

☆☆☆☆☆

>>283
{(2n-1)^(0,3-a)}

(2n-1)^(C(0,3-a))

◆10000099から10000139の範囲に
素数は三個

10000103
10000121
10000139

◆superPCM関数
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,525}],{n,5000050,5000070}]

{0, 0, 10000103, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
10000121, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10000139}


◆的中率100％

◆superPCM関数
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,525}],{n,5000050,5000070}]

◆19999から20139の範囲に
素数は15個

20011 20021 20023 20029 20047 20051
20063 20071 20089 20101 20107 20113
20117 20123 20129

◆superPCM関数
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,10000,10070}]

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 20011, 0, 0, 0, 0, 20021,
20023, 0, 0, 20029, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
20047, 0, 20051, 0, 0, 0, 0, 0, 20063, 0, 0,
0, 20071, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 20089, 0, 0,
0, 0, 0, 20101, 0, 0, 20107, 0, 0, 20113, 0,
20117, 0, 0, 20123, 0, 0, 20129, 0, 0, 0, 0, 0}


◆的中率100％

10000019
10000079
10000103
10000121
10000139
10000141
10000169
10000189
10000223
10000229
10000247
10000253
10000261
10000271
10000303
10000339
10000349
10000357
10000363
10000379

◆101から463の範囲に
素数は65個

101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149,
151, 157, 163, 167, 173,
179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229,
233, 239, 241, 251, 257,
263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313,
317, 331, 337, 347, 349,
353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409,
419, 421, 431, 433, 439,
443, 449, 457, 461, 463,

◆superPCM関数
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]

{0, 101, 103, 0, 107, 109, 0, 113,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 127, 0, 131, 0, 0,
137, 139, 0, 0, 0, 0, 149, 151, 0,
0, 157, 0, 0, 163, 0, 167, 0, 0, 173,
0, 0, 179, 181, 0, 0, 0, 0, 191, 193,
0, 197, 199, 0, 0, 0, 0, 0, 211, 0, 0,
0, 0, 0, 223, 0, 227, 229, 0, 233, 0,
0, 239, 241, 0, 0, 0, 0, 251, 0, 0, 257,
0, 0, 263, 0, 0, 269, 271, 0, 0, 277,
0, 281, 283, 0, 0, 0, 0, 293, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 307, 0, 311, 313, 0, 317, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 331, 0, 0, 337, 0, 0, 0,
0, 347, 349, 0, 353, 0, 0, 359, 0, 0,
0, 367, 0, 0, 373, 0, 0, 379, 0, 383,
0, 0, 389, 0, 0, 0, 397, 0, 401, 0, 0,
0, 409, 0, 0, 0, 0, 419, 421, 0, 0, 0,
0, 431, 433, 0, 0, 439, 0, 443, 0, 0,
449, 0, 0, 0, 457, 0, 461, 463}


◆的中率100％

Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]

◆素数位置特定アルゴリズム
(superPCM関数)

Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]

aの終値は、
nの初期値よりも小さくする

{a,3,50}

3は固定値
終値は大きいほど精度が上がる
概ねnの初期値の1/3

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1)
{C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}
{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}
{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}
{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}
{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}
{C(0,n-9)+((n-9)^16mod17)}},{n,1,180}]


☆☆

{n,1,180}の範囲で精度100％

◆ピタゴラス

Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}]

Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}]

Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}]

二桁以上の素数で、
下一桁の数が5の素数は
存在しない

100万以下の素数で
2と5を除いた素数は、
78496個

それらの素数の下一桁の数を
調べる

1：19617個
3：19665個
7：19621個
9：19593個

◆素数位置特定アルゴリズム
(superPCM関数)

Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]

aの終値は、
nの初期値よりも小さくする
入力条件はそれだけ　

3は固定値
aの終値はnの初期値に近づいてゆく
ある地点で最高精度になる

■お題
『√15+√10の整数部分を求めよ』

√16＞√15＞√9 ，
√16＞√10＞√9 なので、

√15と√10 の整数値は共に3

(√16+√16)＞(√15+√10) なので、
8＞(√15+√10) …①

(√16)^2-(√9)^2=7
(√15)^2-(√10)^2=5 ゆえに、

(√16)^2-(√9)^2＞(√15)^2-(√10)^2
7＞(√15+√10)(√15-√10)
7/(√15+√10)＞(√15-√10)

√15と√10 の整数値は共に3
なので、(√15-√10)＜1

したがって、
(√15+√10)＞7 …②


①②より、

∴7＜(√15+√10)＜8

ハッシュドポテト

■お題
『√15+√10の整数部分を求めよ』

(√15+√10)^2=25+10√6

10√6＞24 つまり、
√6＞(12/5)のとき、(√15+√10)＞7

√25＞√24 なので、5＞2√6

5＞2√6 から、5√6＞12
5√6＞12 から、√6＞(12/5)

したがって、(√15+√10)＞7 …①

また、(√16+√16)^2＞(√15+√10)^2
なので、8＞(√15+√10) …②


①②より、

∴7＜(√15+√10)＜8

■お題
『√15+√10の整数部分を求めよ』

(√15+√10)^2=25+10√6

10√6＞24 のとき，(√15+√10)^2＞49
つまり，
√6＞(12/5)のとき，(√15+√10)＞7


◆√6＞(12/5)である事の証明

√25＞√24 なので，5＞2√6

5＞2√6 から，5√6＞12
5√6＞12 から，∴√6＞(12/5)

したがって，(√15+√10)＞7 …①

また，(√16+√16)＞(√15+√10)
なので，8＞(√15+√10) …②


①②より，

∴7＜(√15+√10)＜8

4k + 1 型の素数は
二個の平方数の和で表す
ことができる

また逆にある奇素数が
二つの平方数の和で表すことが
できるならば、4k + 1 型の素数である

そして、
二つの平方数の順序を別に
すればこの分解は一意的である

■お題
『2024^2+2025^2は
平方数でないことを示せ』

2025^2-2024^2=2(2024)+1=4049

2024^2+2025^2=2(2024^2)+4049

4k+1型の素数(kは自然数)は
二個の平方数の和で表す
ことができる

2024は、4の倍数
2(2024^2)も4の倍数
4049は、4の倍数+1

したがって自然数kを使って
4k+1=2(2024^2)+4049 とおけるkが
存在する

∴2024^2+2025^2は素数のため、
平方数ではない

8197081 8197093 8197099 8197141
8197153 8197159 8197183 8197193
8197199 8197201 8197271 8197279
8197297 8197327

Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,333}],{n,4098591,4098601}]

■お題
『2024^2+2025^2は
平方数でないことを示せ』

a=2024 とすると,
2024^2+2025^2=a^2+(a+1)^2
=a^2+a^2+2a+1=a(2a+2)+1

4k+1型の素数(kは自然数)は
二個の平方数の和で表す
ことができる

a=2024は4の倍数なので，
a(2a+2)+1 は4k+1型の素数


∴2024^2+2025^2は素数のため，
平方数ではない

■お題
『√2000+√3000と100の
大小を比較せよ』

√2000=10√20
√3000=10√30

√2000+√3000=10(√20+√30)

(√20+√30)＜10 のとき，
√2000+√3000＜100

√20+√30=√10(√2+√3) …①

(√2+√3)^2=5+2√6

√25＞√24 なので，5＞2√6

5＞2√6 の両辺に5を足すと，
10＞(5+2√6)

5+2√6=(√2+√3)^2 なので，
√10＞(√2+√3)

①は，(√20+√30)＜10 となるので，

∴√2000+√3000＜100

アインシュペナー

■お題
『√2000+√3000と100の
大小を比較せよ』

√2000=10√20
√3000=10√30

√2000+√3000=10(√20+√30)

(√20+√30)＜10 のとき，
√2000+√3000＜100


◆(√20+√30)＜10 である事の証明

√20+√30=√10(√2+√3) …①

(√2+√3)^2=5+2√6

√25＞√24 なので，5＞2√6

5＞2√6 の両辺に5を足すと，
10＞(5+2√6)

5+2√6=(√2+√3)^2 なので，
10＞(√2+√3)^2

したがって，√10＞(√2+√3)

√10＞(√2+√3) の両辺に
√10を掛けると，

①は，(√20+√30)＜10 となるので，

∴√2000+√3000＜100

>>292
ボンミス

■お題
『√2000+√3000と100の
大小を比較せよ』

√25＞√24 なので，5＞2√6

5＞2√6 の両辺に5を足すと，
10＞(5+2√6)

5+2√6=(√2+√3)^2 なので，
10＞(√2+√3)^2

したがって，√10＞(√2+√3)

√10＞(√2+√3) の両辺に
√1000 を掛けると，

√10000＞√1000(√2+√3)


∴100＞√2000+√3000

■√25＞√24を使って『お題』を作れ

√25＞√24 なので，5＞2√6

5＞2√6 の両辺に5を足すと，
10＞(5+2√6)

5+2√6=(√2+√3)^2 なので，
10＞(√2+√3)^2

したがって，√10＞(√2+√3)


■お題
『√10と(√2+√3)の大小を比較せよ』

√10，(√2+√3)，√6+(√2/2)の
大小を比較せよ

√7+1/2，√3+√2，πの
大小を比較せよ

『√10，(√2+√3)，√6+(√2/2)の
大小を比較せよ』

√6+(√2/2)=(2√6+√2)/2=(2√2√3+√2)/2
=√2(2√3+1)/2=(2√3+1)/√2

■お題
π≒3+(√2)/10+(√14)/100000

π≒3+(√2)/10+(√293)/100000

π≒3+(√2)/10+(√2)/(10^4)+2(√2)/(10　^5)+(√2)/(10^6)+(√2)/(10^7)

◆

◆

3+(√2)/10+(√2)/(10^4)+2(√2)/(10^5)+(√2)/(10^6)+(√2)/(10^7)+2(√2)/(10^8)+5(√2)/(10^9)+5(√2)/(10^10)


☆☆

Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]

1/8=0.125

π＞3+0.125

1/7=0.142857142857...

142857　循環小数

3+0.142857＞π