>>430
>n^2<p<n(n+1)のpが全て合成数であるnのときのアルゴリズムが分からない
>ここに全てと書いていますが、これは関係ありません。合成数であるpに対しては、そのp全てに対して
rと一対一の関係が設定できる

関係あります。
背理法である以上、n^2<p<n(n+1)のpが全て合成数であるnが少なくとも一つ存在することを仮定しています。
その特定のnをNとしましょう。

N^2<p<N(N+1)を満たすpは全て合成数になります。
2.におけるあなたの主張は、このN^2<p<N(N+1)を満たす合成数p"全て"に対しても特定のアルゴリズムを用いるとrと1対1を作成できると言っています。

3.の鳩の巣原理通り、当然それは不可能です。
それは背理法でもなんでもありません。

あなたはルジャンドル予想が正しければ、2.のアルゴリズムとやらで1対1対応を作成できると主張し、

ルジャンドル予想が間違っていれば、鳩の巣原理上、そのアルゴリズムでは1対1対応を作成できないと3.で主張してるだけです。

矛盾しているのは、2.のアルゴリズムでは、n^2<p<n(n+1)のpが全て合成数であるNが存在しないから、そのようなNを考えなくてよいと、事実上ルジャンドル予想が正しいと既に仮定していることと

3.の鳩の巣原理で、n^2<p<n(n+1)のpが全て合成数であるNが存在しているというルジャンドル予想が間違っているという仮定、
それぞれの仮定が矛盾しているだけです。

背理法でルジャンドル予想が正しいことを示すなら、2.の証明でルジャンドル予想が間違っているという仮定のもと、
N^2<p<N(N+1)を満たす合成数ｐ"全て"について、なんらかのアルゴリズムによってrと1対1対応を作成できることを示さないといけません。