前>>521修正。
>>520(1)B(s,t)とおくと、
OA=OB=√(2^2+4^2)=2√5だから、
s^2+t^2=20
内積→OA・→OB=(2√5)(2√5)cos60°
2s+4t=10
s+2t=5
s=5-2t
(5-2t)^2+t^2=20
25-20t+5t^2=20
5t^2-20t+5=0
t^2-4t+1=0
グラフよりt=2+√3
s=1-2√3
∴B(1-2√3,2+√3)
(2)y=x^2を微分するとy'=2x
P(p,p^2)におけるy=x^2の接線の傾きは2p
接線の方程式はy-p^2=2p(x-p)
BPを最小にするBPの傾きは-1/2p
BPの方程式はy-2-√3=-(x-1+2√3)/2p
二つの方程式からyを消去すれば交点のx座標がpだから、
p^2=2+√3-(p-1+2√3)/2p
2p^3=4p+2p√3-p+1-2√3
2p^3-4=3p+2p√3-(3+2√3)
2(p^3-2)=(3+2√3)(p-1)
pが有理数だと仮定すると、
左辺は有理数、右辺は無理数。
∴矛盾。pは無理数。