O阪大学に落ちた万年高卒と
N小屋大学で多変数複素関数論は教えてきたが
無限集合論は初歩から分かってないタコツボ名誉教授には
死ぬまで理解できない初歩の話

定理（Gabay-O’Connor）
いかなるn∈Nとs∈S^Nについても
n∈Nを要素とする有限集合FのNでの補集合F~（注：無限集合である）
の任意の要素mについてs(m)が分かれば
s(x)＝r(x)が、有限個のx∈Nを除いて成立するような
rを得ることができる

証明
「s(x)とs'(x)は有限個のxでのみ違うなら同値」
という同値関係をとることができる
有限集合FのNでの補集合F~の任意の要素mについて
s(m)が分かればsの同値類が分かり
選択公理によってその代表元r∈S^Nを得ることができる
rは同値類の任意のsと同値だから
有限個のx∈Nを除いてs(x)＝r(x)がなり立つ

注意
「n∈Nを要素とする有限集合FのNでの補集合F~の任意の要素mについてs(m)が分かれば」を
「n∈Nを要素としない任意の有限集合Fの要素mについてs(m)が分かれば」と置き換えた場合、
有限個の有限集合Fの要素mでのs(m)だけではsの同値類が特定できないので、
選択関数によって同値類の代表元を得ることができない
（無限集合と任意有限集合の違い）