>>595
老婆心によるコメント

BC=5
CA=6
AB=7
として
B(0,0) C(5,0)に座標をとる。
AB,AC,BCの間に各々P,Q,Rをとして
PQ:PR:QR=7:6:5であるとする。
0<s,t<1で
P=s*A
Q=t*A + (1-t)*C
とする
https://i.imgur.com/nrvBgUV.png

PQの長さはs,tの関数として求まる。
PR=6*(PQ/7)
QR=5*(PQ/5)
なので
Pを中心として半径PRの円とQを中心として半径QRの円の交点としてRが求まる。
（あるいは余弦定理で∠QPRを計算して算出しても求まる）
Rがs,tの関数として求まるので
　Rのy座標=0
　0<Rのx座標<5
からtとsの関係が出せるので変数を1つ減らせる。
つまり、tをsの関数として表せる（陰関数になるかもしれんが）。
Rの座標がsで表せれば△PQRの面積はsの関数として算出できる。
あとは0<s<1で最小となるsを求めればよい。


PQ:PR:QR=7:5:6
PQ:PR:QR=6:7:5
などの場合について同様の操作を行って最も小さくなるのを求めればよい。

これが手計算でできるかどうかは知らない。
少なくとも俺にはできないので
怒涛の計算力のある東大卒による検証を希望。