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定義
チェックコホモロジー
最初に定義された層コホモロジーのバージョンは、
チェックコホモロジー(Čech cohomology)を基礎とし、
そこでは、位相空間 X の開集合 U の属する小さな変換が、
前もって固定されているアーベル群 A の上というよりも
U 上で変化するアーベル群 F(U) とされている。
このことは、コチェインが具体的に書き下すことが容易であることを意味し、
実際、有理型函数のクザン問題のような典型的な応用が、
数学の領域の中で有名な一群をなす。
層の観点からは、チェック理論は、
A に値を持つ局所定数函数への層の制限である。
層の理論の中では、基本群がその上で作用する局所係数をもつような、
つまり、より一般的な係数の非常に異なった種類を持つ
ツイストしたバージョンと見ることをも含んでいる。

この理論の一つの問題は、
X 自体がうまく振る舞わ(well-behaved)ないと
チェックコホモロジーが良い性質を持たないということである。
このことは、X が多様体のような場合は困難ではないが、
ザリスキー位相が一般にはハウスドルフ的ではないので、
代数幾何学への応用では困ることになる。

チェックコホモロジーの問題は、
層の短完系列に付随するコホモロジー群の長完全系列を作ること
に失敗することで明白となる。
実践的には、このことは計算を行うときの基本的方法
（つまり、与えられた層から短完全系列を通して
　他のものをどのようにして導き出すかを示し、
　結果を求める）である。
理論は暫くの間、混乱した状態であった。
ジャン・ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)は
チェックの理論が成り立つことを示し、
他方、アレクサンドル・グロタンディーク(Alexandre Grothendieck)は、
長完全系列の成り立つようなより抽象的な定義を提案した。