>>743
>コルモゴロフの拡張定理
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%82%B4%E3%83%AD%E3%83%95%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%BC%B5%E5%AE%9A%E7%90%86
>R^Nに測度は入る

なるほど
もと天皇陛下
スレ主です

仰りたいことが分かりました
出題の数列>>1については
コルモゴロフの拡張定理で、独立な確率変数の列などには、測度が入る
一方、同値類の代表を集めた集合や、それから決まる決定番号について
測度が入るのか？ ですね

https://litharge3141.github.io/blog_pdf/kolmogorov_extension/kolmogorov_extension.pdf
コルモゴロフの拡張定理 @litharge3141 2020 年 4 月 16 日
概要
コルモゴロフの拡張定理は種々の確率変数列の構成に必須であり，これがないと独立な確率変数の列があ
るかという問いにも答えられない．このノートでは完備可分距離空間での拡張定理の証明を書くことにす
る．記号や用語の注意などさぼりがちなところがあるので，質問があれば Twitter にどしどしお送りくだ
さい．

Remark. 閉球の半径を大きくして増大列を取りたいところだが，これがコンパクトになるのはノルム空間な
ら有限次元であるときに限る．完備可分距離空間なら全有界からコンパクト性が出るので上手くいった．σ-コ
ンパクトな位相空間でも同様の議論ができる．また，この命題で確率測度空間を完備拡大しても同じ結果が成
り立つ．

1.2 定理の証明
Remark. 証明は cylinder set 上の測度が全体に拡張されることと，cylinder set が十分たくさんあってボレル
σ-代数を含むことの二段階に分かれる．両方において完備可分距離空間は本質的な仮定である．前者の証明は
結局のところ cylinder set としてはコンパクト集合を射影で引き戻したものだけ考えればよく，そうなれば対
角線論法から完全加法性が従うことを言っている．次元を合わせたり (S をいくつか直積したのはこのため)，
単調性を維持したりしなければならない (K′′n の定義はこのため) ので，そこをしっかり書こうとすると記述が
膨れた．また後者においては，必要がなかったので省略したが，反対側の包含も成り立つ．