時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱入り無数目」>>1より抜粋
(引用開始)
もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，(2) 有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.確率変数の無限族は，
任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2) の扱いだ.
(引用終り)

「任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2) の扱いだ」も大外し
１）「任意の有限部分族がxxのとき，xx，と定義される」のフレーズは
　コンパクト性定理（下記）に由来する 正統な覚えておくべき言い回しですね
２）こんなところにヤクザの因縁って、アホでしょ？

ああ、陛下には釈迦に説法ですが

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
コンパクト性定理（英: Compactness theorem）とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。
つまりある理論の充足可能性を示すにはその有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理であり、モデル理論における最も基本的かつ重要な成果のひとつである。
応用例
コンパクト性定理はモデル理論を含む様々な分野において多くの応用を持つ。例として、以下の定理や命題がコンパクト性定理を用いて証明される。
上方レーヴェンハイム-スコーレムの定理
国の数が無限である場合の四色定理[3]
任意の順序集合が全順序に拡大できること [3]
証明
コンパクト性定理は、ゲーデルの完全性定理から導くことができる。実際、一階述語論理の文の集合Sがモデルを持たないとすると、完全性定理からSは矛盾していることになるが、どんな証明も長さは有限なので、矛盾の証明に現れるSの文は高々有限個である。よって、Sのある有限部分から矛盾が導出されること、つまりSは充足不可能な部分集合を持つことがわかる。これの対偶がコンパクト性定理である [3]。
この他にも、超積を用いた証明も知られている。