実数無限列sから、始めの(n-1)項を0と置き換えたものをsnと表す
もちろんsは任意のsnと同じ尻尾を持つから尻尾同値である

したがって選択公理に基づく選択関数rによれば、
任意のsnについて以下の等式が成り立つ
r(s)=r(sn)

以下r(s)をrと略す

sとrは当然尻尾同値であり、一致する尻尾の先頭位置が存在する
これを決定番号dとする　dはもちろん自然数である

さて、d<nを満たす自然数nは無数に存在する
そのようなnによるsnからrが得られるから
s(d)からs(n-1)までのn-d個の項の中身は
代表rのr(d)からr(n-1)までと一致する

これが「箱入り無数目」のからくりである
d<nとなるnが取れさえすれば当たるのである…選択公理を認める限り

さて、選択公理に基づく選択関数を使わずにsnから同値類の代表を選ぶ場合
できることをいえばsnと同値な数列を適当に選ぶしかない　これをrnとする

その場合各rnが等しい可能性はもはやない
そしてrnとsを比較した場合、もちろん尻尾同値ではあるが、
一致する尻尾の先頭はnであろう

そのような代表rnの選び方しかできないなら
確かにnより小さい決定番号dとなる確率は0である

しかしこれは選択公理の否定でもある
なぜなら選択公理の下ではr(s)=r(sn)となるような
選択関数rが存在するからである