素数階段について質問です。

ガウスが発見した素数階段の高さと自然対数表の計算の誤差は、
素数階段が高くなると誤差も小さくなるということですが、
その誤差には何らかの規則性はないのでしょうか？

もし、誤差に規則性があって、それを計算によって正確に求めることができれば、
素数の並びは不規則ではないと証明したことにはならないでしょうか？

ど素人の自分のこんなアイデアなんて、もう誰かが調べているかもしれないと思いましたが、
自分がググった範囲では見つからなかったので、もしかして…なんて思ったりしてｗ