分からない問題はここに書いてね 472

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね 471
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630008892/

数学@5ch掲示板用
☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

>>541
ありがとうございます。
5行目に出てくるabcってなにものですか。

合同式
x≡y (mod p)
は、xとyは、pで割った時の余りが等しいという意味ですが、
もしxがpより大きく、yが0≦y＜ｐなら、
xをpで割った時の余りがyだと読み替えることもできます。
この時の商をaとすると、
x=a*p+y
と書けます。
541のa,b,cは合同式を等式に書き直す時に必要な整数定数です。

なるほど。「pの倍数」をa*pとおいたということですね。

abc≦a+b+cかつ1≦a<b<cを満たす整数の組(a,b,c)をすべて求めよ。

>>555
面白い数学の問題おしえて〜な 43問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696639819/

次の問題の解き方をおしえてください。

nを3以上の自然数とする。1,2,…,nの中から、連続しない2つの異なる自然数の積の総和を求めよ。

>>557
1からnまでの数2つの積(重複を許す)全体から
2乗の和、連続する2数の積の和を引く

求める値は
(∑[k=1,n]k)^2-∑[k=1,n](k^2)-∑[k=1,n]{(k-1)k}

>>558
連続する2数の積の和、は2通りを考えて
(∑[k=1,n]k)^2-∑[k=1,n](k^2)-2×∑[k=1,n]{(k-1)k}
だった
あとは∑k, ∑k^2の公式を使えば一般項が求まる

>>559
さらに訂正
この式だと計算結果も2通りを数えているので
全体を2で割る必要がある
(1/2)×[ (∑[k=1,n]k)^2-∑[k=1,n](k^2)-2×∑[k=1,n]{(k-1)k} ]

計算結果を因数分解すると
((n+1)C4)/(2^3)
のような規則性のある式になるはず

他にも、数え方を
1×3+(1+2)4+(1+2+3)5+...+(1+...+(n-2))n
とすれば、計算式は
∑[k=1,n-2]((k+2)∑[j=1,k]j)
となる
答えは同じ

納k=1,n]{(k-1)k} を引く、という考え方に思い至りませんでした。
ありがとうございました。

杉浦光夫著『解析入門II』

↓で「f(V) = W とする」などと勝手なことを書いていますが、 f(V) = W をみたすような開集合 V, W を取れることは証明を要しますよね？

U が R^n の開集合、 f: U → R^n は U 上 C^1 級で、一点 a ∈ U において仮定

(2.4) det f'(a) ≠ 0

をみたすとする。

b := f(a) とする。

C^1 級関数 F : R^n × U →　R^n を

(2.6) F(y, x) = f(x) - y

によって定義する。このとき

(2.7) F(b, a) = 0

である。さらに

(2.8) det ∂F/∂x(y, x) = det f'(x)

であるから、仮定(2.4)により

(2.9) det ∂F/∂x(b, a) ≠ 0

である。(2.7), (2.9)により F は陰関数定理の仮定をみたす。
したがって、点 a, b の開近傍 V (⊂ U), W と、 C^1 級関数 g : W → V 存在して、次の(2.10), (2.11)をみたす。ただし f(V) = W とする。

(2.10) g(b) = a
(2.11) x ∈ V, y ∈ W に対して、 y = f(x) ⇔ x = g(y).

数学力を上げる質問を致します

3次元空間の相異なる3つの格子点を頂点とする正三角形は存在するか。
また、平面の場合はどうか。

数学の基本を試す質問をいたします

放物線y=x^2上に3つの頂点がある正三角形を二組挙げよ。

数学の応用力を試す質問を致します

a,b,cは相異なる正の整数で、a<b<cである。
abc≦ab+b+cを満たす(a,b,c)の組の総数を求めよ。

(あなたが)分からない問題を書くスレですよ

ふれるな

座標空間とかの用語は別にして、これは中学の範囲で解けますか。

xyz空間において、原点中心でxy平面上にある半径1の円を底面とし(0,0,2√2)を頂点とする
円すいSを考える。点(1,0,0)を出発しSの側面を一周して再び(1,0,0)に戻る最短経路をTとするとき、
T上の点のy座標の最大値はいくらか。

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

p.65 Theorem 8.2.

A を R^n の開集合とする。
f : A → R^n を C^r 級の関数とする。
B := f(A) とする。
f が A 上で1対1で det f'(x) ≠ 0 for x ∈ A ならば、 B は R^n の開集合で逆関数 g : B → A は C^r 級の関数である。

>>570
展開図を描いて最短経路を図示する
＝小学生、中学入試
底面の半径と高さから母線の長さを求める
（三平方の定理）＝中学生
なので、技術的には可能と思われます

ただし
「側面上の点の高さは（母線上での）扇形の弧
からの距離に比例」
「高さが最大の点は最短経路の中点」
といった事項を的確に説明した答案を
ノーヒントで作らせるのは難しいかもしれません

問題文を平易にする、補助線や断面図を用意する
などして誘導したほうがよいでしょう

この定理を使えば、

>>563
>>564

で述べた問題点を解決できます。

f は U 上 C^1 級で、 det f'(a) ≠ 0 だから、 a を含む開集合 U' ⊂ U で、 det f'(x) ≠ 0 for any x ∈ U' をみたすものが存在する。

>>563
>>564

の U をこの U' で置き換える。

y = f(g(y)) for any y ∈ W であるから、チェインルールにより、 I_n = f'(g(y)) * g'(y) である。
よって、 det g'(y) ≠ 0 for any y ∈ W である。
また、 y = f(g(y)) であるから、 g は W 上で1対1である。
よって、

>>571

の定理により、 g(W) ⊂ V は開集合である。

x ∈ g(W) とする。
x = g(w) for some w ∈ W である。
g(f(x)) = g(f(g(w))) = g(w) = x である。
よって、 f : g(W) → W と g : W → g(W) の一方は他方の逆写像である。

この開集合 g(W) を改めて V と置けば、 f(V) = W である。

Munkresさんの本に載っている

>>571

の定理を使ってやっと杉浦さんの雑な話を正当化できました。


杉浦さんって雑ですよね？

なんか逆関数定理の証明で一番重要なところでコケていますよね。
「ただし f(V) = W とする。」とか書いて。

>>570
円錐S:(z-(2√2))^2=8(x^2+y^2),0≦z≦2√2
T(=楕円)を含む平面:z=-(2/3)*√2*(x-1)
二つの式からzを消去し、楕円(←xy平面に射影したもの)の標準形にすると
{(x-1/4)/(3/4)}^2+{y/(1/√2)}^2=1
(Tはこの楕円柱と平面の共通部分とも言える）
yの最大値 1/√2
高校数学が必要と考えられる
（もし、「z座標の最大値」なら中学生でも可能）

根本的に勘違いしている。Tはだ円じゃないぞ。そもそもTは平面曲線じゃない。

>>570
締切前の学コン。マナー違反。
z座標の最大値なら可能だが、y座標の最大値は数IIIの範囲。

第6問だね

出題の常連さんは
そういうところからネタを持って来るのか
ありがとう

そもそも円錐曲線が好きな人は多い

アポロニウス以来
関孝和も

>>579
ご指摘の通りです。
最小周回路はある平面内にあるはずだと盲目的に思い込んでいました。
578は撤回します。
「締切前の学コン」との事なので、詳細は触れませんが、
「中学数学でも可能」に変更します。

入試の季節だし、高校生レベルの問題に即答はやめてくれ

東京大学理系数学予想問題を出題します

>>585
時間次第ではいいんじゃないの
追い込んでる人もいるだろうし夜なら問題ないでしょ

>>584
また勘違いしてるんじゃないか？
z座標の最大値はまだしも、y座標の最大値が中学数学で求まるとは到底思えない。
ちなみにy座標の最大値はsqrt(3)/3 ではないぞ(もう少し大きい)。

なるほど、直感に頼りすぎでした。
きちんと解析的に解かなければなりませんね。
高校数学が必要であると、再訂正します。

>>587
高校生の質問スレへ行けばいいだろ

高校生スレだとここ以上にチートばればれだから、こっちの方が都合がいいってこと

>>591
受験板でやれ

ウブな奴を騙してチートぶっこくのが目的なんだから、そこは論外

底面の半径R高さhの直円錐の側面の展開図を極座標で考えると
Fan: 0≦θ≦α, 0≦r≦√(R^2+h^2)
α√(R^2+h^2)=2πR
そして
(θ,r)∈Fan
に対する直円錐の側面の点を底面に投影した点は
(2πθ/α,Rr/√(R^2+h^2))
なので
y=Rrsin(2πθ/α)/√(R^2+h^2)
(θ,r)=(0,√(R^2+h^2))
から
(θ,r)=(α,√(R^2+h^2))
までの直線は極座標で
r=r(θ)=tan(α/2-θ)cos(α/2)√(R^2+h^2)
y=y(θ)=Rr(θ)sin(2πθ/α)/√(R^2+h^2)=Rtan(α/2-θ)cos(α/2)sin(2πθ/α)

dy/dθ=0を満たすθを得てその時のyを求めるか

馬鹿か

学コンの問題　<<<< 高校レベルの問題を解きたい

dy/dθ=Rcos(α/2)((2π/α)tan(α/2-θ)cos(2πθ/α)-sin(2πθ/α)/cos^2(α/2-θ))=0
(2π/α)sin(α/2-θ)cos(α/2-θ)cos(2πθ/α)=sin(2πθ/α)
(2π/α)sin(α/2-θ)cos(α/2-θ)=tan(2πθ/α)
うーん

>>590
高校生の質問スレはキチガイが住み着いて機能してない

>>594
この問題の場合
>α√(R^2+h^2)=2πR
3α=2π
α=2π/3
>>598
>(2π/α)sin(α/2-θ)cos(α/2-θ)=tan(2πθ/α)
3sin(π/3-θ)cos(π/3-θ)=tan3θ
(3/2)sin(2π/3-2θ)=tan3θ
うーん

>>594
>までの直線は極座標で
>r=r(θ)=tan(α/2-θ)cos(α/2)√(R^2+h^2)
ああまちがい
r(θ)cos(α/2-θ)=一定=cos(α/2)√(R^2+h^2)
y=y(θ)=Rr(θ)sin(2πθ/α)/√(R^2+h^2)=Rcos(α/2)sin(2πθ/α)/cos(α/2-θ)
dy/dθ=Rcos(α/2)(

dy/dθ=Rcos(α/2)((2π/α)cos(2πθ/α)cos(α/2-θ)-sin(2πθ/α)sin(α/2-θ))/cos^2(α/2-θ)=0
(2π/α)cos(2πθ/α)cos(α/2-θ)=sin(2πθ/α)sin(α/2-θ)
α=2π/3
3cos3θcos(π/3-θ)=sin3θsin(π/3-θ)
うーん

>>599
失せろ、荒らし

>>602
>3cos3θcos(π/3-θ)=sin3θsin(π/3-θ)
t=π/3-θ
3θ=π-3t
3cos(π-3t)cost=sin(π-3t)sint
-3cos3tcost=sin3tsint
3cos3tcost+sin3tsint=0
2cos4t+4cos2t=0
s=2t
cos2s+2coss=0
2cos^2s+2coss-1=0
coss=cos2t=(-2+√3)/2
2cos^2t=1+(-2+√3)/2=√3/2
0＜t＜π/3
cost=cos(π/3-θ)=√(√3/2)>√3/2
0<t<π/6
π/6<θ<π/3
(1/2)cosθ+(√3/2)sinθ=√(√3/2)
cos^2θ+sin^2θ=1
cosθ=(√(2√3)+√(12-6√3))/4
sinθ=(√(6√3)-√(4-2√3))/4
y=(1/2)sin3θ/cos(π/3-θ)=(1/2)(3sinθ-4sin^3θ)/cost
=(1/2)-√3+√(45+42√3)/6

三角形ABCと三角形PQRについて
ABとPQが平行でBCとQRも平行でCAとRPも平行なら
両者は相似といえますか。

>>604
>2cos^2t=1+(-2+√3)/2=√3/2
>0＜t＜π/3
>cost=cos(π/3-θ)=√(√3/2)>√3/2
ああ間違えた
cost=√√3/2<√3/2
π/6<t<π/3
0<θ<π/6
(1/2)cosθ+(√3/2)sinθ=√√3/2
cosθ+√3sinθ=√√3
cos^2θ+sin^2θ=1
cosθ=(√√3+√(4√3-3))/4
sinθ=(√(3√3)-√(4-√3))/4
y=(√(25√3-24)-√(4√3-3))/3

合ってるかどうかは書くなよ？
締め切り前のコンテストの問題なんだから

極形式→パラメーター表現→微分
の方針は良さそう

>>606
ここも間違えた
>y=(√(25√3-24)-√(4√3-3))/3
y=(√(19√3-24)-√(4√3-3))/3
=(4-√3-√(4-√3))√√3/3

大学への数学
https://ts-webstore.net/?mode=f1

チクったらだめだぞ

>>602
>(2π/α)cos(2πθ/α)cos(α/2-θ)=sin(2πθ/α)sin(α/2-θ)
t=α/2-θ
2πθ/α=π-2πt/α
(2π/α)cos(π-2πt/α)cost=sin(π-2πt/α)sint
(2π/α)cos(2πt/α)cost+sin(2πt/α)sint=0
(2π/α)(cos(2π/α+1)t+cos(2π/α-1)t)+cos(2π/α-1)t)-cos(2π/α+1)t=0
(2π/α-1)cos(2π/α+1)t+(2π/α+1)cos(2π/α-1)t=0
A=2π/α-1 B=2π/α+1
AcosBt+BcosAt=0
A(exp(iBt)+exp(-iBt))+B(exp(iAt)+exp(-iAt))=0
Aexp(i2Bt)+Bexp(i(A+B)t)+Bexp(i(B-A)t)+A=0
Aexp(i(4π/α+2)t)+Bexp(i4πt/α)+Bexp(i2t)+A=0
うーん
まあしかし4π/α=2√(1+(h/R)^2)=nが整数ならn次方程式解いてなんとかなるものかも

東大数学級の難問を出題してください

i,j,kは
i^2=j^2=k^2=-1
ij=jk=ki=-1
をみたす。
このときi,j,kは複素数でないことを示せ。

>>612
i=j=kでいいんじゃない？

3^x-2y^2=25の自然数解は(3,1)だけだと思うのですが、それを示すのは難しいでしょうか。
あるいは他に解があるますか？

>>614
高校生の質問スレへ行け

sin3とsin314の大小を比較せよ。
必要があればπ=3.1415926535...を用いて良い。

>>614
>>531
高校数学じゃ解けないってばよ

>>606
>cosθ=(√√3+√(4√3-3))/4
>sinθ=(√(3√3)-√(4-√3))/4
>>608
>y=(√(19√3-24)-√(4√3-3))/3
>=(4-√3-√(4-√3))√√3/3
cosθ=(√√3+√(12-3√3))/4
sinθ=(√(3√3)-√(4-√3))/4
y=√(11/2√3-3)

>>604
>2cos^2s+2coss-1=0
>coss=cos2t=(-2+√3)/2
coss=cos2t=(-1+√3)/2
2cos^2t=1+(-1+√3)/2=(1+√3)/2
cost=√(1+√3)/2
sint=√(1-(1+√3)/4)=√(3-√3)/2
y=sin3θ/2cost=sin(π-3t)/2cost=sin3t/2cost=(3sint-4sin^3t)/2cost
=√(6√3-9)/2

「ベクトルエー」と「エーベクトル」とどっちの読み方が正しいですか？
伝わればどちらでも良いという人がいるのですが、
私は「エーベクトル」と聞くたびに気持ちが悪いです。
「ラムダ固有値」とか「エフ写像」とか言ってるのと同じに聞こえます。

斎藤毅著『集合と位相』

「
仮定 ∀x x ∈ X がなりたたないから、

(∀x x ∈ X) ⇒ x ∈ Y

は任意の集合 X と Y についてなりたつことになる。
」

などと書かれています。

x ∈ Y は命題ではないので、

「(∀x x ∈ X) ⇒ x ∈ Y」

はナンセンスではないですか？

この答えはζ(2)=π^2/6だそうです
どうやって示すのでしょうか？
https://pbs.twimg.com/media/Gh4exj_akAARpTK.jpg

ChatGPT と　東大君はどっちが脳力が上なの？

「クンマー・エルドリッチの三つの正根」が読みたいです。
お持ちの方はコピーしてうｐしてもらえませんか。

ツマンね

>>624
30年以上前の大数読者か。アラカンのジジイだな。

小島寛之先生に直接お願いしたら？

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>>622
たぶん自己解決しました
(logx log(1-x))'を0から1/2まで積分かな

>>624
「帰納法の竜」も面白いよ

タコ中心派がしょーもなくて面白い

斎藤毅著『集合と位相』

自然数 N の元を

0 := ∅
1 := P(0)
2 := P(P(0))
3 := 2 ∪ {2}
4 := 3 ∪ {3}
…

と定義しています。

そして、演習問題で

N の元の間の関係として、集合の包含関係を考え、

(N, ⊂) が全順序集合になることを証明せよという問題があります。

その演習問題の解答ですが、数学的帰納法を使っています。

通常、数学的帰納法は自然数の理論に含まれます。
ですが、斎藤さんは自然数の定義はしていますが、数学的帰納法については既知としています。

このようなことは許されるのでしょうか？

自然数 m, n に関する条件 m ⊂ n ∨ n ⊂ m を C(m, n) で表し、自然数 n に関する条件 ∀m ∈ N C(m, n) を C(n) で表す。
すべての自然数 n に対して C(n) がなりたつことを、 n に関する帰納法で示す。
n = ∅ ならば任意の自然数に対し ∅ ⊂ m である。
よって、 C(0) がなりたつ。

C(n) がなりたつとして、すべての自然数 m に対し C(m, n + 1) がなりたつことを、 m に関する帰納法で示す。
m = ∅ のときはよい。
C(m, n + 1) がなりたつとして、 C(m + 1, n + 1) がなりたつことを示す。
C(n) がなりたつから、 C(m + 1, n) もなりたつ。
n + 1 ⊂ m なら n + 1 ⊂ m ⊂ m + 1 であり、 m + 1 ⊂ n なら m + 1 ⊂ n ⊂ n + 1 だから、 m ⊂ n + 1 ∧ m ≠ n + 1 ∧ n ⊂ m + 1 ∧ n ≠ m + 1 の場合に示せばよい。

>>631
数学の証明は我々が「普通」正しいと考える方法で行われ
その中には数学的帰納法も含まれています
ここで期待されているのは
公理的集合論の枠組みの中で構築した自然数のモデルである集合Nが
期待する性質を持つことを示すということで
数学的帰納法を使っても良いことが暗黙のうちに仮定されているということでしょうね

似た様な状況でよく言われることですが
ロピタルの定理が証明され(sinθ)'=oosθが証明されたとして
演習問題で
limsinθ/θ=lim(sinθ)'/θ'=limcosθ/1=1
と示すことは何らやましいことではありません

40年位前にゼミで使ったテキストが思い出せないのですが
代数幾何というか環論というかなんですが
最初の章が スタディオブ何とか　で、
中ほどの章で　米田-カルタン？ (「米田」は正しいと思うが「カル」の方はうろ覚え、違う名前かも)
が出てくる本なんですが、
分かる人いますか。

√2＋√3
が、だいたいπなのは理由はありますか？

√10も大体πじゃない？

３も大体π

π＝355/113はスゴイよな

π＝3.14とか約3とかで教える代わりに
π＝355/113で教えるべきだと思う
半径rの円周は710r/113
半径rの球の体積は1420r^3/339
60°は355/339ラジアン

>>638
それは日本の和算で使われていた説
3.16

毛利重能以来

「割算書」では最後に円周率の
計算法の確立の重要性を説いている

>>641
小数の計算はどこで覚えるの？

X を位相空間とする。
P(X) を X のすべての部分集合からなる集合とする。

P(X) ∋ A → closure(A) ∈ P(X) および P(X) ∋ A → X - A ∈ P(X) という2つの写像を考える。

(1)
A ∈ P(X) から出発して、上の2つの写像を繰り返し適用することによって得られる異なる P(X) の元の個数は 14 を超えないことを示せ。

(2)
R を実数の集合からなる位相空間とする。位相は通常の位相とする。
P(R) の元 A で、上の2つの写像を繰り返し適用することによって得られる異なる P(R) の元の個数がちょうど 14 になるようなものを求めよ。

ここは出題スレじゃないよ

xy平面において曲線y=sinxの0≦x≦2πの部分の長さをLとする。
Lの整数部分を求めよ。必要であればπ=3.14...を用いてよい。

n→無限大のとき n^2*(ln(cos(1/n)))→-1/2 になることの導き方をそしえてください。

x:=1/n, n->+∞のとき x->+0
以下, c:=cos(x), s:=sin(x)
(n^2)*(ln(cos(1/n)))
=((1/x)^2)*(1/2)*ln(cc)
=(-1/2)*((s/x)^2)*(ln(1-ss)/(-ss))
->(-1/2)*(1^2)*1=-1/2　(x->+0)　[log(1+y)/y->1, as y->0]

(ln(1-ss)/(-ss))　をつくるのがすごいです。ありがとうございます！

おねがいします。

pを素数とする。
整数係数の1変数多項式全体の集合をZとする。
Zの部分集合Aを A={ pg(x)+(x^2+1)h(x) | g(x)∈Z, h(x)∈Z } と定める。
このとき次の命題が真になるような素数pの条件を求めよ。
　(命題) f(x)∈Zで、適当な正整数nに対し{f(x)}^n∈A になるなら、f(x)∈A である。