分からない問題はここに書いてね 472

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☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
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大学の問題を高校数学に翻訳して何がしたいんだ？

いやこれ高校の宿題なんです

全力狙いまくりであの雑誌の宿題なことをボカしていますね

y=2x^2の-1<x<3の値域が0<y<18だと間違いになるのはなぜですか？

x=0のときy=0だから

範囲が等号ナシの＜だから値域も等号ナシの＜にならないのでしょうか。

妙なこと考える前にお絵描きすれば

定義域の端から端まで動くとき
関数の値の最小値を通るから
値域は最小値の点を含み、必ずイコールがつく

言葉で説明するとこうだけれど
放物線のグラフを書いて、その一部を切り取ってから
x軸とy軸に対応する値を書き入れると理解が進むはず

コホモロジーについての質問なのですが、nを非負整数、Gをp-群、MをG-加群とするとき、
H^n(G, M)(p)=H^n(G, M)
は成り立ちますか？H^n(G, M)(p)はp-partとしています。

q≠pのq倍考えてみてはどうかな

答弁者「……であるからして」
野次「議員やめろー！」「やめちまえー！」
議長「不規則発言は控えてください」
野次「1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...」
議長「規則性のある発言も控えてください」

>>663
後藤田正晴「Z80で疑似乱数発生器

位相空間Xが m次元位相多様体であるとは

1.Xはハウスドルフ空間
2.Xの任意の点pに対し、pを含むm次元座標近傍がとれる

を満たすときですが、2の条件で、点pによってmが変わるような、たとえば
ある点pではpを含む2次元座標近傍がとれ、別の点qでは3次元座標近傍がとれるようなXは
位相多様体とはできないのでしょうか。
　

>>665
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain

>>665
連結性を仮定しなければ、交わらない平面と直線の和集合を考えればよい

\[
\sum_{n<0} 20^n = 0.052631578947368421\ldots
\]

\[
\sum_{n \geq 0} 20^n = \ldots 052631578947368421
\]
これで同じ数字列が現れるのってなんでなんですか？p進数とかが関係してるらしいとは聞いてるんですが。

以下の３点を通る放物線の関数
というか、えーと方程式を教えて下さい

１点目　(x, y) = (0,0)
２点目　(x, y) = (1,0)
３点目　(x, y) = (1,1)

ちなみに、
縦向き放物線でなくも構わない、かつ
横向き放物線でなくも構わない、かつ
放物線なら何でも何でも構わん。

ちなみに、ポクは、
アフィン変換は少しだけOK、かつ
三角関数なら、バッチリOK、かつ
平方根なら、超バッチリOK な知識在り

>>669
ax^2+2bxy+cy^2+px+qy+r=0
b^2-ac=0
(x,y)=(0,0)
r=0
(x,y)=(1,0)
a+p=0
(x,y)=(0,1)
c+q=0
a=c=1
x^2+2xy+y^2-x-y=0 NG
x^2-2xy+y^2-x-y=0 OK
(1-x)^2-2(1-x)y+y^2-(1-x)-y=0
x^2+2xy+y^2-x-3y=0
a=1, c=4
x^2+4xy+4y^2-x-4y=0 OK
x^2-4xy+4y^2-x-4y=0 OK
(1-x)^2+4(1-x)y+4y^2-(1-x)-4y=0
x^2-4xy+4y^2-x=0
(1-x)^2-4(1-x)y+4y^2-(1-x)-4y=0
x^2+4xy+4y^2-x-8y=0

>>669
斜め45°座標で考える(たぶん一番簡単)
X=y+x
Y=y-x
ここで第1点、第3点を通る放物線を立式する
Y = aX(X-2)
第2点を通るように係数aを決めれば
Y = (1/3)X(X-2)
元の座標で表せば
xx + yy + 2xy + x - 5y = 0
を得る

>>671
(x,y=(1,0)？

>>670
(ax+by)^2-a^2x-b^2y=0
(a(1-x)+by)^2-a^2(1-x)-b^2y=0
a^2x^2-2abxy+b^2y^2-a^2x+(2a-b)by=0
a=b=1
x^2-2xy+y^2-x+y=0 NG
a=1,b=-1
x^2+2xy+y^2-x-3y=0 OK
a=1,b=2
x^2-4xy+4y^2-x=0
a=1,b=-2
x^2+4xy+4y^2-x-8y=0

(ax+by)^2-a^2x-b^2y=0 NG
ax+by=0//a^2x+b^2y=0
(a,b)//(a^2,b^2)
ab^2=a^2b
ab(b-a)=0
a=0,b=0,a=b

>>674
y=ax^2+bx+c NG
x=ay^2+by+c NG
x^2-2xy+y^2-x+y=0 NG

(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(p,q)
(ap+bq)^2-a^2p-b^2q=0
a=0
b^2q^2-b^2q=0
b≠0
q=0,1
(p,q)=(p,0),(p,1) NG
b=0
a^2p^2-a^2p=0
a≠0
p=0,1
(p,q)=(0,q),(1,q) NG
a=b≠0
p^2+2pq+q^2-p-q=0 NG
(x,y)=(0,0),(1,0),(1,1),(p,q)
(p,q)=(p,0),(p,1),(0,q)(1,q) NG
p^2-2pq+q^2-p+q=0 NG

>>676
>p^2+2pq+q^2-p-q=0 NG
(p+q)(p+q-1)=0
p=0,1,q=0,1,p+q=0,p+q=1 NG
(x,y)=(0,0),(1,0),(1,1),(p,q)
p=0,1,q=0,1,p-q=0,p-q=1 NG

>>672
（訂正版)
第2点を通るように係数aを決めれば
Y = X(X-2)
元の座標で表せば
xx + yy + 2xy - x - 3y = 0
を得る

>>676
>(ap+bq)^2-a^2p-b^2q=0
a^2(p^2-p)+2abpq+b^2(q^2-q)=0
(pq)^2-(p^2-p)(q^2-q)≧0
pq(pq-(p-1)(q-1))≧0
pq(p+q-1)≧0
(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(p,q)
p=0,1,q=0,1,p+q=0,1 NG
p,q<0 NG
1-p<q<0 NG
1-q<p<0 NG
0<p,q,p+q<1 NG
(x,y)=(0,0),(1,0),(1,1),(p,q)
p=0,1,q=0,1,p-q=0,1 NG
p>1,q<0 NG
p<q<0 NG
1<p<q NG
0<q<p<1 NG

国公立二次試験の前期日程スタート、東大は過去３０年で志願者数最低…人気学部は法・政治学

>>679
どっか間違ってる
ちょっと考えます

>>678
(追記)
回転した座標軸を採って
X = cθ.x-sθ.y
Y = sθ.x+cθ.y
(x,y)=(0,0)を通る放物線を立式する (-90°<θ≦90°)
aY = X(X-b)
(x,y)=(1,0), (1,1) を通ることから
M.v = w
M=[ [s, c], [c+s, c-s] ]
v = [a, b]
w=[ cc, (c-s)² ]
を得る
det(M) = -ss -cc = -1
∴ v = [a,b] = M^{-1}.w = ...
a = (s-c)cc -c(c-s)² = (s-c)sc
θ=0°,45°,90° では a = 0 となるので放物線解は存在しない
>>678 は θ=-45°に相当する

環Rに対し、R代数ってR加群に毛が生えたようなもんなのに
なんで「代数」なんて代数学を代表しそうな偉そうな名称がついているのでしょう？ 経緯が知りたいです。

>>669
指定された３点はある正方形の三頂点にあたる
放物線y=x^2はA(-1,1),O(0,0),B(1,1)を通るが、この三点もある正方形の三頂点にあたる

従ってy=x^2を45°左に傾け、1/√2倍し、右に１ずらせばよい

y=x^2　→　(-x+y)/√2=(x+y)^2/2　→　(-x+y)=(x+y)^2　→　(-(x-1)+y)=(x-1+y)^2

人は反応できるものに反応する

>>685
小泉進次郎みたいな無内容なことを言ってる

>>679
>p=0,1,q=0,1,p+q=0,1 NG
ここが正しくない
p,q<0 NG
1-p<q<0 NG
1-q<p<0 NG
0<p,q,p+q<1 NG
これ以外の(p,q)であっても
(ap+bq)^2-a^2p-b^2q=0
a^2(p^2-p)+2abpq+b^2(q^2-q)=0
を満たす(a,b)≠(0,0)としてa=0,b=0,a=bが得られるようなp,qはNG
それをa=0,b=0,a=bの場合のp,qであるp=0,1,q=0,1,p+q=0,1を除外と考えてしまった
正しくは
p=0のときでもq^2-q=0すなわちq=0,1はOKだがこれは(0,0),(0,1)なのでNG
よってp=0はすべてNG
q=0も同様の理由でNG
p=1のとき2abq+b^2(q^2-q)=(2a+b(q-1))bq=0
q=0はOKだがこれは(1,0)なのでNG
q≠0なら(2a+b(q-1))b=0でq=1なら2ab=0でNG
q≠0,1なら2a+b(q-1)=0を満たすのがa=0,b=0,a=b以外に存在するのでOK
同様にq=1から考えてもp=0,1がNG
p+q=0のときq=-pより
(ap-bp)^2-a^2p+b^2p=0
(a-b)^2p^2-(a^2-b^2)p=0
(a-b)p((a-b)p-(a+b))=0
p=0はOKだがこれは(0,0)なのでNG
p≠0なら
(a-b)((a-b)p-(a+b))=0
を満たすa,bがa=0,b=0,a=b以外に存在するのでOK
p+q=1の時（中略）すべてNG
よって
p,q≦0 NG
1-p≦q≦0 NG
1-q≦p≦0 NG
0≦p,q,p+q≦1 NG
(p,q)=(1,1) NG
（上記に含まれるが特にp=0,q=0,p+q=1はNG）

>>669
x=1/2に関して対称にして
(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1)を通るのは
(ax+by)^2-a^2x-b^2y=0ただし(a,b)≠(0,0)
ただしa=0,b=0,a=bは放物線にならないため除く
(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(p,q)を通る放物線が存在するような(p,q)は
p,q≦0 NG
1-p≦q≦0 NG
1-q≦p≦0 NG
0≦p,q,p+q≦1 NG
(p,q)=(1,1) NG
すなわち
0<q<1-p,p<0
0<p<1-q,q<0
0<p,q,1<p+qただし(p,q)≠(1,1)

>>688
>(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(p,q)を通る放物線
4点(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(p,q)を通る放物線

>>683
代表しそうというか代表だったからだよ

積があるのを毛が生えたってそりゃすごいいいよう

>>686
自己紹介乙

>>692
>685が無内容だと指摘しただけ

>>688
>0<q<1-p,p<0
>0<p<1-q,q<0
>0<p,q,1<p+qただし(p,q)≠(1,1)
この条件の(p,q)に対して
>>689
>4点(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(p,q)を通る放物線
はa/bが判別式正の2時方程式の解となるので
2本存在する
例えば
(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(2,2)
なら
2a^2+8ab+2b^2=0
より
(-2±√3)x+y)^2-(-2±√3)^2x-y=0

間違えた
a^2(p^2-p)+2abpq+b^2(q^2-q)=0
この方程式のa=0,b=0,a+b=1を除く解はb=1として
a^2(p^2-p)+2apq+(q^2-q)=0
a=(-pq±√(pq(p+q-1))/(p^2-p) (p≠0,1)
だが（p=0はそもそも除外されている）
q=1のときはa=0が解の一つであるため
放物線となるのは1つ
p=1のときはそもそも2次方程式ではなく
2aq+q^2-q=0,q≠0より
a=(1-q)/2
よって
>>688
>0<q<1-p,p<0
>0<p<1-q,q<0
>0<p,q,1<p+qただし(p,q)≠(1,1)
においてp=1,q＝1のときは
>>689
>4点(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(p,q)を通る放物線
はただ1つでp,q≠1のときは2つ

>>695
>q=1のときはa=0が解の一つであるため
>放物線となるのは1つ
a=(-p±|p|)/(p^2-p)=0,2/(1-p)
より
a=2/(1-p)
あるいはa=2,b=1-pとしてもよい
>p=1のときはそもそも2次方程式ではなく
>2aq+q^2-q=0,q≠0より
>a=(1-q)/2
こちらも
a=1-q,b=2としてもよい

>>687
>q≠0,1なら2a+b(q-1)=0を満たすのがa=0,b=0,a=b以外に存在するのでOK
q=-1もNG
よって(p,q)=(1,-1),(-1,1)も除外となる
同様に
>p+q=0のとき
（中略）
>p≠0なら
>(a-b)((a-b)p-(a+b))=0
>を満たすa,bがa=0,b=0,a=b以外に存在するのでOK
p=1,-1すなわち(p,q)=(1,-1),(-1,1)は除外せねばならない
よって正しくは
p,q≦0 NG
1-p≦q≦0 NG
1-q≦p≦0 NG
0≦p,q,p+q≦1 NG
(p,q)=(1,1),(1,-1),(-1,1) NG

アフィン変換で三角形は三角形放物線は放物線であるので
△ABCの頂点を通る放物線は
直線AB,BC,CAによって分割された7領域のうち4領域（境界である直線も含む）と
BCの中点に関しAと対称な点A'
同様のB',C'を除外した領域内の全ての点Pについて
点Pを通るようなものが
直線A'B',B'C',C'A'上にないときは2本
あるときは（もちろんP≠A',B',C'）1本
存在する

>>698
>直線AB,BC,CAによって分割された7領域のうち4領域（境界である直線も含む）と
>BCの中点に関しAと対称な点A'
>同様のB',C'を除外した領域内の全ての点Pについて
直線AB,BC,CAによって分割された7領域のうち
三角形の外部にあり三角形と辺で接する3領域の内部から
BCの中点に関しAと対称な点A'
および同様のB',C'を除外した領域内の全ての点Pについて
としたほうが良い

これを見ると
解析幾何的に求めた結果だが
おそらく純粋に古典幾何的に
証明もできるように思うね

>>693
尿瓶ジジイの釣り餌にどや顔して回答して恥ずかしい

>>701
685に嫌なものを感じたので

∫_[0,1] dx/(x^2-（2cosα)x +1) の定積分の求め方はどう求めればいいですか。
x＝tan とか x-cosα＝tan とかおいてもダメんでしょうか。

(x-cosα)^2+(sinα)^2よりt=(x-cosα)/sinαと置換するよ
公式もあるからそれで一発でもいい
1/(t^2+1)の積分に帰着でarctant
あるいは同じことだがさらにt=tanθと置換でも

\[
\sum_{n<0} 20^n = 0.052631578947368421\ldots
\]

\[
\sum_{n \geq 0} 20^n = \ldots 052631578947368421
\]
これで同じ数字列が現れるのってなんでなんですか？p進数とかが関係してるらしいとは聞いてるんですが。

嫌なものを感じた

>>702,685
同じ基底の成分を持ち合わせてないと相互作用自体ができない。

>>707
基底とは？

途中式も付けて教えてください。

学校と図書館を結ぶ一本道がある。
Aは学校から図書館へ向けて、Bは分速60mで図書館から学校へ向けて、同時に歩きだした。
その後しばらくしてCが学校から図書館へ向けて分速160mの自転車で出発したところ、
Cは出発して5分後にAを追い越し、その3分後にBとすれ違った。
BはCとすれ違って3分後にAとすれ違った。
このとき学校と図書館の間の距離は何mか。

{(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} は、非加算個の弧状連結成分を持つことを示せ。

以下の解答はあっていますか？

{(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} の2点を a, b とする。

a = (s, sin(1/s)), s ∈ (0, 1]
b = (t, sin(1/t)), t ∈ (0, 1]

と書ける。

s = t のときには、 [0, 1] ∋ u → (s, sin(1/s)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} が点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} 上のpathである。

s < t のときには、 [s, t] ∋ u → (u, sin(1/u) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} が点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} 上のpathである。

t < s のときには、 [t, s] ∋ u → (s + t - u, sin(1/(s + t - u)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} が点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} 上のpathである。

{(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} の点 x と {(0, y) : y ∈ [-1, 1]} の点 y を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1]} 上のpathが存在しないことはよく知られている。
よって、
{(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} の点 x と {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の点 y を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathも存在しない。

よって、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} は {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の弧状連結成分である。

>>710
>{(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)}
各点それぞれ別々に弧状連結でしょ

{(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の2点を a, b とする。

a = (0, s), s ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)
b = (0, t), t ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)

と書ける。

s = t のときには、 [0, 1] ∋ u → (0, s) ∈ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} が点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathである。

s < t のときに、 点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在すると仮定する。
そのpathを [v, w] ∋ u → (f(u), g(u)) ∈ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} とする。（v < w である。）
f(u) = 0 for any u ∈ [v, w] でなけれればならない。
g(u) ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q) for any u ∈ [v, w]、 g(v) = s, g(w) = t でなければならない。
s < q < t を満たす有理数 q は有理数の集合の稠密性により存在する。
g はpathの定義により連続関数であるから、 g(u_0) = q を満たす u_0 ∈ [v, w] が存在する。
(f(u_0), g(u_0)) は {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の点ではないから、矛盾が発生した。
よって、 s < t のときに、 点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在しない。

t < s のときに、 点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在すると仮定する。
そのpathを [v, w] ∋ u → (f(u), g(u)) ∈ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} とする。（v < w である。）
f(u) = 0 for any u ∈ [v, w] でなけれればならない。
g(u) ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q) for any u ∈ [v, w]、 g(v) = t, g(w) = s でなければならない。
t < q < s を満たす有理数 q は有理数の集合の稠密性により存在する。
g はpathの定義により連続関数であるから、 g(u_0) = q を満たす u_0 ∈ [v, w] が存在する。
(f(u_0), g(u_0)) は {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の点ではないから、矛盾が発生した。
よって、 t < s のときに、 点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathは存在しない。

したがって、 {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の各点はそれ自身で、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の弧状連結成分である。

まとめると、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の弧状連結成分は、

{(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]}、
{(0, y)} (y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q))

からなる。

よって、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} は、非加算個の弧状連結成分を持つ。

>>714

そうです。

あ、抜けている論点がありました。

s < t のときに、 点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在すると仮定する。
そのpathを [v, w] ∋ u → (f(u), g(u)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} とする。（v < w である。）
(f(u), g(u)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} を満たす u が存在すると仮定する。
(f(u_0), g(u_0)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} とする。
[v, u_0] ∋ u → (f(u), g(u)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} は {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の点と {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} の点を結ぶpathであるが、上で示したようにそのようなpathは存在しない。
矛盾が発生した。

s < t のときに、 点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在するにしても、そのpathは {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathである。

t < s のときも同様。

途中式も付けて教えてください。

学校と図書館を結ぶ一本道がある。
Aは学校から図書館へ向けて、Bは分速60mで図書館から学校へ向けて、同時に歩きだした。
その後しばらくしてCが学校から図書館へ向けて分速160mの自転車で出発したところ、
Cは出発して5分後にAを追い越し、その3分後にBとすれ違った。
BはCとすれ違って3分後にAとすれ違った。
このとき学校と図書館の間の距離は何mか。

>>723
b=60
c=160
5c=a(t+5)
d=(5+3)c+b(t+5+3)
d=a(t+5+3+3)+b(t+5+3+3)
a=50
t=11
d=2420

m 次元位相多様体 M の定義について質問です。

M はハウスドルフ空間。
M の各点 p に対し、 p を含む M の開集合 U で、 U' ⊂ R^m と同相になるようなものが存在する。

これは、 p を含む M の開集合のうちで少なくとも1つそのようなものが存在すればいいということでしょうか？

それとも、空でない M の開集合 U はすべて、 m 次元ユークリッド空間の開集合と同相でなければならないということでしょうか？

>>725
>空でない M の開集合 U はすべて
S^1はR^1の開集合と同窓かあ

Mの各点に対し(中略)存在する。と書かれてて後者の意味に受け取るなら数学よりも国語を勉強したほうがいい

rが2以上でnがr以上のとき
C[n,r]とH[n,r]とP[n,r]の3数がこの順に等比数列になることはないでしょうか。

>>727
自分の解釈が正しいとしたらどういうことになるかの例を考えるのは基本的なことだと思うのだけど
「正しい答え」を教えてもらうことしか頭にないのかもね

3辺の長さがa,b,cである△ABCの重心をGとする。
AG+BG+CGをa,b,cで表せ。

中線の長さの和の2/3だから3辺の長さで表すことはできるだろうね

∫_{-√3}^{+√3} log(1 + x^2) / (1 + e^x) dx はどうやって計算しますか？

原始関数を求めることはできますか？

1.03143

積分区間がわざとらしく原点対称なことから、被積分関数を偶関数と奇関数の和に分割
あとはがんばれ

f を [a, b] で局所有界でない関数とする。
{x ∈ [a, b]: f は x で局所有界でない} が無限集合になる例はありますか？
非可算無限集合になる例はありますか？

fの例
xが無理数のときのfの値はなんでもよい
x=0での値も任意
x=p/q(pは0でない整数、qは正の自然数、p/qは既約分数)のときf(x)=q
と定めればfは実数上の各点で局所有界ではない

>>734
log(1+x^2)/(1+e^x)+log(1+(-x)^2)/(1+e^(-x))
=log(1+x^2)(1+e^x)/(1+e^x)
=log(1+x^2)
∫log(1+x^2)dx
=∫(x)'log(1+x^2)dx
=xlog(1+x^2)-∫x(2x/(1+x^2))dx
=xlog(1+x^2)-2∫(1-1/(1+x^2))dx
=xlog(1+x^2)-2x+2arctanx
[xlog(1+x^2)-2x+2arctanx][0,√3]
=2√3log2-2√3+2π/3

f を [a, b] で定義された関数とする。
{x ∈ [a, b]: f は x で局所有界でない} が区間を部分集合として含むことはありますか？

>>738
>>736

質問して答えを貰ったら礼をいうのが当たり前

(n + 1)! + n! が平方数となるような正整数 n は無数に存在するか．

平方数について。
数オリ関係の本ではよく「完全平方数」という言い方をされますが
なぜこのようにくどい言い方を？　ただの平方数ではだめんでしょうか？

あるいは、「完全じゃない平方数」というものがあったりするんでしょうか。それと区別するために必要とか。

数オリ委員会に聞けばよかとね

「完全」はヤン車のエアロパーツみたいなものじゃないの
ショボいヤン車も、ベニヤ板のエアロパーツをつけるだけでヤン車っぽさが増すでしょ

以下、説明
間違っていたら訂正よろしく

・平方と完全平方は、数でなく多項式の
呼び方にも用いられる

数の場合、平方数と完全平方数は同じ
式の場合、全体が2乗でくくれれば完全平方式
そうでない場合でも、式変形で平方完成して
2乗とその他に分けた形を「平方式」と呼ぶ

・数については、平方数でない数について
「無平方」（無平方数、square-free number）
という分類もある
これは、ある数について素因数分解が
素数の2乗以上の素因数（＝平方因子）
をもたないもののことをいう
高等数学の群論などの分野で用いられる

>>745
聞いた時ない

quoraで見かけたけど
f(f(x)) = sin(x)
を満たすf(x)は何？

スペースが足りないので無理です

x^2+y^2=Nをみたす整数x,yが存在するような自然数Nの条件ってわかりますか。

>>749
フェルマーの二平方和定理で検索

>>750 ありがとおございます！

フェルマー二の定理