大学学部レベル質問スレ 25単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 24単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703434188/
大学学部レベル質問スレ 23単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/
大学学部レベル質問スレ 22単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

スレ立て乙

m! を素数pで割った剰余にどのような数が現れるかは
一般に分かりますか？
ヰルソンの定理から(p-1)!≡p-1, (p-2)!≡1 は分かりますが
他の階乗

来たぞ、どう料理するかお手並み拝見

>>3
分かりません

p<=m.
m!=0(mod.p).

ヰルソン

hartshorneのchapter2読んでてcoherent sheafの定義がlocally noetherianでしか通らんなと思ったんだけど(具体的にはaffine schの上で有限生成加群の層化関手がcoh/spec(R)に飛ばない例が存在する)
一般のschemeやringed sp.(参照:stacks project等)で使われてるcoherent sheafの定義ってfinite typeって有限性条件を保ちつつAbelian categoryにするための条件ってことで合ってる？

n! を素数pで割った時の余りが分かる公式はありますか？
https://jp.quora.com/n-%E3%82%92%E7%B4%A0%E6%95%B0p%E3%81%A7%E5%89%B2%E3%81%A3%E3%81%9F%E6%99%82%E3%81%AE%E4%BD%99%E3%82%8A%E3%81%8C%E5%88%86%E3%81%8B%E3%82%8B%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AF%E3%81%82%E3%82%8A%E3%81%BE%E3%81%99%E3%81%8B

微分方程式 f'(x)=f(x)+xってどうやって解くんですか？

りょうへんにexp(-x)をかける

まずy'=yを解く

または(D-1)y=xを解く

>>8
それは連接層を定義したカルタンがアーベル圏を念頭に置いて有限型の条件を入れたかという質問で合ってる？
だとしたら違うだろうな、カルタンが連結作を定義した時点ではアーベル圏の概念はなかったから

連結作→連接層

>>11
りょうへんにexp(-x)をかける
f'(x)exp(-x)=(f(x)+x)exp(-x)
左辺に積の微分公式
(f(x)exp(-x))'+f(x)exp(-x)=(f(x)+x)exp(-x)
整理
(f(x)exp(-x))'=x exp(-x)　お！？
積分
f(x)exp(-x)=∫x exp(-x) dx
f(x)=exp(x)∫x exp(-x) dx
と、解けた...

f(x)=e^x -x -1 でねーの？場当たり的な解き方で出た。

積分定数いれると Ce^x -x -1 か。

>>12
解はy=Ce^x
Cを変数として元の式へ代入するとC'=xe^(-x)。解くとC=-(x+1)e^(-x)。特解はy=-(x+1)
解はy=Ce^x-(x+1)

>>14
ありがとう。正確にはアーベル圏ってより有限型かつ核と余核と像で閉じてる性質を求めて定義したのかな？って聞きたかった
…んだけど関係式の(局所)有限性を要請したら結果的にこの性質も入ってたってだけかもしれないね
カルタンの仕事周りの本も読んでみるね。本当にありがとう

>>13
訂正
-(D-1)y=xを解く。
y=-(D-1)^(-1)x= -e^x∫e^(-x)xdx= -x-1

>>20
なんでそんなこと知る必要あるんだろ
ただ勉強するだけで良くね？

Kを完備ノルム体とする
AがK上のバナッハ環とは

(1) K上の結合多元環
(2) K上のバナッハ空間
(3) ||ab|| ≤ ||a|| ||b|| (a, b∈A)

この(2)で、Kによるスカラー倍は、左右どちらから作用させても可換であることを仮定していますか？
それとも左または右からの作用さえ与えれば、これだけの条件から可換になるのですか？

KはAのcenterに入るに一票

(1)で, 掛け算写像AxA → A; (a, b) → abがK双線形であることが要求されるから, r∈K, a, b∈Aに対して

r(ab) = (ra)b = a(rb).

b = 1とすれば,

ra = ar.

単位的でない時はしらん.

L/KをGal(L/K)が位数nの巡回拡大でσをその生成元、aをKの元とするとき代数AをK上の代数でL[t]に関係式

lt = tσ(l)、t^n = a

をいれるとcen(A) = KであるK代数
AはLを部分環として含み単位元は単位元として含むがLはAのcenterに入ってない。

Aは、L[t]ではなくK[t]にその関係を入れたもの？

>>26
そのL[t]って多項式環じゃないのね？

>>26
Lは自明にL[t]のすべての元と可換だと思うが

名前ついてる有名な代数、名前忘れた、中心単純拡大だったかな

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E7%9A%84%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%92%B0

>>31
あなたは基本的な勘違いをしています

https://homepages.warwick.ac.uk/~maseap/arith/notes/quatrogiorno.pdf
これのp3

普通にL[t]を左L代数だと思って左イデアルlt-tσ(l)で割ってから両側イデアルt^n-aで割るってだけじゃね
そうするともう可換環ではなさそうだし
ただこの環って一般にはL上の結合多元環でないから(1)を満たしてないよ。でもこれも数論的にはp進ノルム入れるといろいろできそうな感じするし面白いね

>>34
>普通にL[t]を左L代数だと思って
μ:L[t]×L[t]→L[t]
の定義を書き左L代数である場合lt=tlであることを証明せよ

>>35
ごめんその通りだわ　この構成は間違いだ
とりあえず上の非可換代数はL上結合的多元環とは限らないって事で

>>33,34
lx=xl^σよりもxl=l^σxの方が分かりやすそう
twisted polynomial ring L[x]={Σlpx^p}
μ:L[x]×L[x]→L[x]
(Σlpx^p)(Σmqx^q)=Σlpx^pmqx^q
=Σlpmq^σ^px^px^q
=Σlpmq^σ^px^(p+q)
k∈Kについてはk^σ=kなのでtwisted L[x]はK代数ではあるわけかなるほど
その上で両側イデアル
(x^n-a)={Σlpx^p(x^n-a)mqx^q}
={Σ(lpmq^σ^(p+n)x^(p+n+q)-lpamq^σ^px^(p+q))}
で割るのか

積を入れる前のL係数多項式の全体L[x]に
左L加群としての構造は普通に入れて
右L加群としての構造μ:L[x]×L→L[x]を
xl=l^σxで入れて
μ:L[x]\otimes_L L[x]→L[x]
と積を入れてる訳か
両側イデアル(x^n-a)で割ると
モノとして（積無しで）は
A=L[x]/(x^n-a)=L<1,x,x^2,…,x^n-1>
で
L=L<1>⊂A
はK代数の包含で
center(A)=K
なわけね

積を入れる前のL係数多項式の全体L[x]に
左L加群としての構造は普通に入れて
右L加群としての構造μ:L[x]×L→L[x]を
xl=l^σxで入れて
μ:L[x]\otimes_L L[x]→L[x]
と積を入れてる訳か
両側イデアル(x^n-a)で割ると
モノとして（積無しで）は
A=L[x]/(x^n-a)=L<1,x,x^2,…,x^n-1>
で
L=L<1>⊂A
はK代数の包含で
center(A)=K
なわけね

「整列可能定理⇒選択公理」の証明で，
「族A=UA_λを整列して，f(λ)=min(A_λ)とすればfは選択関数」
というのは，Aの元を整列してるように読めたりするんですけど，
「各A_λ内でA_λの元を整列させて最小元を選択する」という認識であっていますか？

ダメです。
キチンと論理式で書いてみればわかります。

>各A_λ内でA_λの元を整列
各A_λの整列順序をどうやって選択するのかね

X:位相空間、Y:可縮な位相空間に対し、
XからYへの連続写像fとgはホモトピックであることを示せ。

という問題の解答は、
「Yが可縮であることから、∀x∈X, f(x)とg(x)がY内の道で結ばれるため、連続写像
F(x, t)=(1-t)f(x)+tg(x)（t∈[0, 1]）
を定めることができる。
これはfとgを結ぶホモトピーである。」
で良いのでしょうか？
可縮であるという条件の使い方がイマイチよくわかりません

だめ
それじゃYが弧状連結であることしかつかってない。
Yが可縮⇔Yのidentityと一点写像Y→{*}→Yがホモトピック
を使えばよい。

>>44
id_Yと一点写像がホモトピックを使う場合、ホモトピーFをX×[0, 1]→Y×[0, 1]→Yと考えて
写像X×[0, 1]→Y×[0, 1]が連続になるように定義すれば良いのでしょうか

>>43
XとYが共に円周で、fを恒等写像、gをYを2周する写像としたとき、その論法だとどこで破綻するのかを確かめるのは非常に有益です。

>>31
Rのブラウアー群は位数2だけど、L=C, K=Rのとき、>>26の環は四元数体になるの？

>>38
>>47
(xl)x = σ(l)x^2
x(lx) = lx^2

なので、結合多元環ではない

結合L多元環ではない

>>41 >>42
返答ありがとうございました。
そもそもAは族じゃなく普通の集合ですね。
A_λ内の整列の方法が一意じゃないことも理解しました。

>>47
なる。
C=C⊕Ct に関係式
tα=α^t、t^2=-1 (ただしα^はαの複素共役)
で４元数体になる。このときtはH=R⊕Ri⊕Rj⊕Rk、C=R⊕Riとしたときjに相当する

整列可能定理を使った証明ってよく分かんないよね、素朴な感想

>>47
そうだよー　自分は四元数体をガロア作用に注目して一般化したものだと理解してる

クラインの壺とメビウスの帯は"同相でないがホモトピー同値である"例として正しいですか？

>>26
これ>>23の？

質問の連投

>>52
その感覚のがわがんね

>>57
お前は優秀だね

>>54
メビウスの帯の両端を同一視したものがクラインの壺
全然ホモトピックじゃない
ていうか
ホモトピーならメビウスの帯も演習も同じだけど？

>>58
つか
じゃ
なんの証明わからないか書いて

つか
名前あるからクラインの壺に神秘生？感じるかも知らんが
対して面白いもんじゃないがよ
射影平面は拡張性あって面白いが

>>60
補題
Xを正規空間とし、GをXの局所有限な開被覆族とする。このときXのある開被覆族Hがあって、各g∈Gに対し、あるh∈Hがあって、hの閉包⊂g、となる。

>>62
証明は？

>>63
主張を書けというから書いただけ

つか
それ
H=O(X)じゃだめなん？

>>64
君がわからないのはその証明じゃないの？

君はその証明で整列定理が使われているのがわからんと書いてたでしょ
何がわからんかわからんからその証明を書いてってことよ

つか
Hがその条件満たせば
H⊂H'⊂O(X)
のH'も満たすから
H=O(X)でだめなら
そんなH存在しないがよ

クラインの壺を縦に三等分すると、
二つの輪ができるのはなぜ？

>>52
整列定理って
言うてみれば
（超限）帰納法使ってるだけだから
それが可能と思えば
（超限）帰納法で言えることだと認識するだけだが
君がわからんのは
どう整列させるかってことでない？
それは誰もわからん

>>69
実際三等分すればいいじゃん

>>53
>四元数体をガロア作用に注目して一般化したものだと理解してる
ガロア作用に注目して一般化したものが四元数体になると理解するべきね

お前も選択公理を認めない派にならないか？

まるほどなｌｓ

環論の質問です
環をR、そのイデアルをIとし、r+I={r+a|a∈I}をIの剰余類とする
このとき、関係r～s⇔r+I=s+Iは同値関係であり、r～sとr-s∈Iは同値である

と書かれているのですが、r～sとr-s∈Iが同値であるという理屈がわかりません
一応
r-s∈I
⇒(r-s)+a∈I（a∈I）（∵イデアルの定義）
⇒(r-s)+I⊆I
(r-s)+I⊇Iは自明なので(r-s)+I=I
変形してr+I=s+I
と考えましたがどうにもしっくり来ません

補足です
rとsは環Rの元です

>>76
>r～sとr-s∈Iが同値であるという理屈
理屈ではなく定義ね

r-s∈IがRの同値関係r〜sを定めること、その時r+Iが剰余類であると言ってるだけじゃないの

>>48
K代数であってL代数じゃないから
>x(lx) = lx^2
これが成り立たないてことよ

>>49
あ
スマン

>>43
>連続写像
>F(x, t)=(1-t)f(x)+tg(x)（t∈[0, 1]）
>を定める
定めてないのでは？

r〜s⇔r+I=s+Iを定義として
r〜sとr-s∈Iは同値であるを示したいんだろ？

>>76
>環をR、そのイデアルをIとし、r+I={r+a|a∈I}をIの剰余類とする
>このとき、関係r～s⇔r+I=s+Iは同値関係であり、r～sとr-s∈Iは同値である
ちゃんと読むと
なんか定義の順序が変な感じねこれ
剰余類って普通同値関係から出すんじゃないの？
先に同値関係定義してなくて
r+Iを定義して剰余類と呼んで
同値関係をそれ（r+I=s+I）で定義するてこと？
それなら証明しなくちゃいかんね
変だけど

>>84
この教科書だとその順序で書かれています
確かに言われてみると同値関係を定めてから剰余類を定めるのが一般的ですよね…
理屈抜きで定義としてそのまま受け取ったほうが良いんでしょうか

>>83
それです
なぜr～s⇔r+I=s+Iとr-s∈Iが同値と言えるのかが納得できないんです

「r+I={r+a|a∈I}をIの剰余類とする」は
「r+I={r+a|a∈I}とする」ならおかしくない

(r-s)+I=I
変形してr+I=s+I
ここで論証を何段か飛ばしている

ここをt+Iの定義に沿って示せば納得がいくと思う

r+I=s+I⇒r-s∈I
r=r+0∈r+I=s+I
r=s+i, i∈I
r-s=i∈I
r-s∈I⇒r+I⊂s+I
r+i∈r+I
r+i=s+(r-s)+i∈s+I
r-s∈I⇒r+I⊃s+I
s-r∈I
s+I⊂r+I

>>72
違う
例えば有理数体の二次拡大で考えてみればそれは四元数体ではない

>>76
>(r-s)+I⊇Iは自明
自明？
s-r∈I
から
(s-r)+I⊂I
出して
I=(r-s)+(s-r)+I⊂(r-s)+I
だから自明とか？
あんまり自明じゃないと思うし
これで自明というなら
r-s∈I⇒(r-s)+I⊂I
も自明じゃない？

>>76
イデアルの定義を書いてみ

環RをイデアルIで割ると剰余環R/Iが出来ると手元の代数入門の本に書いてあるが

>>91
>>92
彼は>>89で丁寧に行間を埋めている

>>94
人間違える評論家ね

>>95
何これ

>>94
そういうことをいってるんじゃなくて、素直な定義ではないといってんだ

松坂、桂、雪江もそういう定義だ

数式だけ並べて日本語がひとつもないレスって人間に読ませる気があるのかね？

>>96
彼て誰？

>>99
勿論？

間違ってるわけでもないのに標準的でない議論が出てきた瞬間に混乱して定義を修正しようとするのって理解せず暗記してるからなの？

>>102
数学にも常識があるんでね
とらわれてしまうこともまま

>松坂、桂、雪江もそういう定義だ
うそつき

わざわざ複雑な定義を持ちだして分からないとのたまうのはどうしたものかな

>>104
根拠は？

>>104
嘘つくなよ

>>76
ソースはなんだ？

商を定義するの同値類で割るのは自然だろ、複雑な定義を持ちだすメリットはあるのか

Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}]

Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}]

Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}]

>>108
共立出版のタンパク質構造とトポロジーという本です

なにが正しくて間違ってるのかはようわからんが、どうでもいい話なのは間違いないだろな

どうでもいいレス

>>111
応用数学者か、納得

定義が気になるなら、代数、トポロジー（単体）は数学の本で勉強したら

>>76
r-s∈Iなら
あるa∈Iが存在しr-s=a、r=s+a
任意のr+i∈r+I（i∈I）に対し
r+i=s+a+i∈s+I（∵イデアルの定義よりa+i∈I）
r+I⊆s+I
同様にしてr+I⊇s+I
r+I=s+I

>>116
逆も

ストークスの証明のために代数的なテンソルが使われますが、その証明においてこのような代数的なものが本質的な役割を果たしますか？

代数的位相幾何学の先駆だからね

>>117
r+I=s+Iとする
r∈r+Iだからr∈s+I
あるa∈Iが存在しr=s+a
r-s=a∈I

加藤氏監修のチャート式をなんて呼んでます？
やっぱ加藤チャートですか？なんか芸人の名前っぽくて抵抗あるんですけど

>>118
果たすから使われたのでは？

（Stokesの定理）
多様体M上のp次元特異鎖tとp-1次微分形式ωとに対し、<dω,t>=<ω,∂t>が成立する。ここで∂tはtの境界輪体である。

Equivalents of the Axiom of Choice 2
↑予備知識少なく、集合論近辺をテーマに選択公理の同値命題を大量に証明も載せてる面白い本
予備知識は証明論の初歩。無くても序章で一応足りてる。

>>76
>(r-s)+I⊇Iは自明なので
もしか(r-s)をr-sで生成されたイデアルと思ってるとか？
いやさすがにまさかね

数学基礎論って数学と関係無いの数学の基礎みたいなふりしてるんですか？

>>126
計算機科学とか言語学とかのほうが関連性高いよね基礎論。

同じく数学から非嫡出子扱いされてきた統計学が生んだLLMがいちばん早く汎用人工知能として実用化の先鞭付けたのはシニカル。

>>118,123
クリフォード代数とか微分形式とかはもう物理数学として教えるべき。

>>121
受験バカはもういいや・・

>>128
そもそも物理と数学が分かれたのはそう昔ではないが
その内容なら数学だろうな

coszの逆関数のリーマン面がアールフォルスに書いてあったけど、なんであの図になるかわからん

1!+2!+…+n! = m^s を満たす2以上の整数n,m,sの組は
(3,3,2)だけといえますか。

s=2 の場合は、n≧4だと左辺の一の位が3になり平方数になりえないのでn≦3に限る
のでいいのですが
s≧3の場合はどのように調べればいいでしょうか。

mod 4 やろ

>>132
計算合ってるか自信ないけど、8!までの和が3の倍数だけど27の倍数ではないからそれでできそう

Σ[n=1,121]n! = 816175573755153875607109098567677683939135776427046687012093529686388435778965733755187395366667525590365511719234590914639815289913423113703621668890599952757660550912421519052556442336528920420940313
≡ 11 ( mod 121 )

Σ[n=1,22]n! = 1177652997443428940313
≡ 11 ( mod 121 )

友人が加藤氏のチャート式に取り組んでるみたいです
今日もカトチャやる、みたいな言い方してたけどカトチャという呼び方が一般的なんですか？

よく「常微分方程式の初等解法」って言いますが、
初等的じゃない解法もあるんですか？

>>134 naruhodo

n≦8のときは具体的に計算することにして
n≧9のときは、左辺は3の倍数なので、
これがs乗数(s≧3)になるならそれは少なくとも27の倍数になるはず。
でも、kが9以上ならk!は27の倍数だが 1!+2!+…8! = 3^2×11×467 は27の倍数でないので、だめ。

ということですか。

せやな
第4項以降 mod 5 で 3 に合同だから平方根は整数でない。
第８項以降 mod 27 で 9 に合同だから3以上のべき乗根は整数でない。

位相空間 X の部分集合 A の極限点の定義：
X の点 x は A の閉包の元であるとき、 A の極限点という。（普通の定義と異なることに注意。）

x が A ⊂ X の極限点であるとしても、 A の点列で x に収束するようなものが存在しないことがあることを示せ。

できるだけ「異常」な例ではなく、親しみやすい例をお願いします。
X = R^n （位相は通常のもの）ではそのような点列はかならず存在してしまいます。

Aを3×3の行列、bを3次の行ベクトルとし、bTをbの転置とするとき、
b.A.bT = tr(bT.b.A)が成り立つことを実際に計算して確かめました。
直感的に成り立つ感じがなかったのですが、この性質(似たものでも)には特別なにか名前はありますか？

>>141
X=R (通常の位相)
A=(0,1)∪{2}

>>141
X={0,1},O={X,{0},φ},A={0},CL(A)=X,X-A∋1≠lim0

>>143
CL(A)=[0,1]∪{2}
2=lim2

>>145
>>143は勘違いでした。

>>141
A={well-ordered R with order topology}
X=A^+
CL(A)=X
+≠limA (lim means N ordered sequence)

>>141
距離付け可能位相限定ならそんなものはない。
非ハウスドルフなら簡単に例が作れる。
あなたの「異常」と感じるものが何なのかに依存する。

>>142
tr(ABC)=tr(BCA)

>>149
ありがとうございます。
左辺はb.A.bTと、トレースがついてないのですが、どのように右辺と等しいと導けるでしょうか？

>>150
>トレースがついてない
b.A.bT=tr(b.A.bT)

>>151
トレースつけてもつけなくても変わらなかったのですね。
今回の左辺が
ABC=tr(ABC)の形を満たしていたのはたまたまでしょうか？それとも満たすかどうか判定する方法が(直接的な計算以外で)あるのでしょうか？何度もすみません‥

tr(AB)=tr(BA).

そもそもtrが何かわかってないでしょ
教科書読み直してきて

b.A.bTはスカラーだからtrあってもなくても値変わらないんでした。ようやく理解できました、ありがとうございます。

>>141
X_i=R (iは自然数、Rは普通の位相) とし、Xをこれらの直積集合に
ΠA_i (A_i⊂X_iは開集合)
の形の集合を開基とするような位相を入れたものとする。
このときの A = Π(X_i-{0}), x = (0,0,…).

素数ですか？
Table[(2n+3){n^2mod3}{(n-1)^4mod5}{n^22mod23},{n,1,500}]

完全微分型じゃない微分方程式に対して、積分因子がどのくらいあるかって分かりますか？

定数倍とか自明なのは同一視して

1辺の長さが1の正方形の領域内を互いが2点以上で交わらないように適当な半径の円で満たすことはできますか？
イメージとしては例えば最初に半径1/2の内接円を書いて正方形(の内側)と半径1/2の円(の外側)に接するもので半径が最大な4つの円を書いてさらに半径が最大となるように円を敷き詰めていくと円の面積の総和が1となるようにできるか？？
といった疑問です

半順序ってx<=yかつy<=xならx=yなのな

>>161
定義

情報学科の知り合いに
f(xy)=f(x)+f(y)
を満たすf(x)はlogx
しかないの？
と聞かれました。
これの証明を教えて下さい。

>>163
分からないと答えたら

f(x)=0も自明に満たすがな
連続とかの条件をつけるなら今のうちにな

可測関数だけでがんばってください

お前が頑張れ

>>163
y=0
f(0)=f(x)+f(0)
f(x)=0
f(x)≠logx

>>163
間違ってる

Zpでもf=0だな

>>157
{0, 7, 0, 11, 13, 0, 17, 19, 0｝

>>171
？{n,1,500}

>>158
無限個

>>173
何次元ですか？

>>171
素数ですか？

Table[(C(0,n-1))+{(2n-1)
{C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}
{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}
{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}
{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}
{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}
{C(0,n-9)+((n-9)^16mod17)}},{n,1,300}]

f, g : R^n → R を C^n 級とする。
g(x) ≠ 0 for any x ∈ R^n とする。

R^n ∋ x → f(x) / g(x) ∈ R は C^n 級であることを証明せよ。

以下の証明は標準的ですか？

(0, ∞) ∋ x → 1/x ∈ R が C^∞ 級であることを証明せよ。

d/dx 1/x = -1/x^2 でこれは連続だから少なくとも C^1 級ではある。

C^n 級ではあるが C^{n + 1} 級ではないとして矛盾を導く。

d/dx 1/x = -(1/x)*(1/x) である。
1/x は C^n 級であるから、d/dx 1/x = -(1/x)*(1/x) も C^n 級である。
よって、 1/x は C^{n + 1} 級である。
これは矛盾である。
よって 1/x は C^∞ 級である。

以下の証明は標準的ですか？

(0, ∞) ∋ x → 1/x ∈ R が C^∞ 級であることを証明せよ。

d/dx 1/x = -1/x^2 でこれは連続だから少なくとも C^1 級ではある。

1/x は C^n 級ではあるが C^{n + 1} 級ではないとして矛盾を導く。

d/dx 1/x = -(1/x)*(1/x) である。
1/x は C^n 級であり、 C^n 級関数の積は C^n 級だから d/dx 1/x = -(1/x)*(1/x) も C^n 級である。
よって、 1/x は C^{n + 1} 級である。
これは矛盾である。
よって 1/x は C^∞ 級である。

R ✕ (0, ∞) ∋ (x, y) → x/y ∈ R は C^∞ 級であることを証明せよ。

R ✕ (0, ∞) ∋ (x, y) → 1/y ∈ R は上で示したことより明らかに C^∞ 級である。
R ✕ (0, ∞) ∋ (x, y) → x ∈ R は明らかに C^∞ 級である。

よって、これらの積である R ✕ (0, ∞) ∋ (x, y) → x/y ∈ R も C^∞ 級である。

R^n ∋ (x_1, …, x_n) → f(x_1, …, x_n) ∈ R を C^∞ 級関数とする。
R^n ∋ (x_1, …, x_n) → g(x_1, …, x_n) ∈ R を g(x_1, …, x_n) = 0 for any (x_1, …, x_n) ∈ R^n であるような C^∞ 級関数とする。
R^n ∋ (x_1, …, x_n) → (f(x_1, …, x_n), g(x_1, …, x_n)) ∈ R ✕ (0, ∞) とする。

この関数と
>>179
の関数の合成関数は C^∞ 級である。
以上で、
>>176
が証明された。

>>177
背理法好きなん？俺なら帰納法で書くけど

>>176
>R^n ∋ x → f(x) / g(x) ∈ R は C^n 級であることを証明せよ。
微分公式使って良いなら直接証明したら？n回微分に登場するのってそれぞれのn回微分までの関数だし

一変数の場合、1/gが微分可能であることを示して、積の定理を使えばf/gは微分可能
1/gの微分商は、1/g(x+h)-1/g(x)={g(x)-g(x+h)}/{g(x+h)g(x)}->-g(x)'/g(x)^2、h->0

>>182
命令するな

>>184
命令？どこがｗ

>>177
証明になってねーよ、論外

>>186

↓これのどこが間違っているのでしょうか？

(0, ∞) ∋ x → 1/x ∈ R が C^∞ 級であることを証明せよ。

d/dx 1/x = -1/x^2 でこれは連続だから少なくとも C^1 級ではある。

C^n 級ではあるが C^{n + 1} 級ではないとして矛盾を導く。

d/dx 1/x = -(1/x)*(1/x) である。
1/x は C^n 級であり、 C^n 級関数と C^n 級関数の積は C^n 級であるから、
d/dx 1/x = -(1/x)*(1/x) も C^n 級である。

よって、 1/x は C^{n + 1} 級である。

これは矛盾である。

よって 1/x は C^∞ 級である。

この板の人間は、
教科書に載っていない事は
答えられない

自作問題厨

>>188
君には評論すらできない

>>187
高校生か？

不定積分
∫ 1/(a+b*cosx) dx
を求めよ。

いやどす

>>163
実数を無限次元の有理数ベクトル空間と思えば
その基底のある成分への射影関数は非自明な線形写像になる
適当にlogとか噛ませば反例が構成できる

コーシーの関数方程式f(x+y)=f(x)+f(y)
https://mathlandscape.com/cauchy-func-eq/

連続、可測等の仮定無しでは無限個の解がある
ネタ

>>195
？
>>168

sorry

安全週間標語
ちょっと待て、レスの前に一呼吸

AIが発展したら、高校レベルや学部レベルの自作問題はAI に聞いて終わりになるんだろうな

pを素数とし、Cを位数pの巡回群とする。直積群G=C×Cの部分群で単位群でもG自身でもないもの全体からなる集合をXとする。Xに含まれる元の個数を求めよ。

命令するな

>>201
糖質?

p+1

◆10000099から10000139の範囲に
素数は三個

10000103
10000121
10000139

◆奇数の数列
Table[2n-1,{n,5000050,5000070}]

10000099, 10000101, 10000103,
10000105, 10000107, 10000109,
10000111, 10000113, 10000115,
10000117, 10000119, 10000121,
10000123, 10000125, 10000127,
10000129, 10000131, 10000133,
10000135, 10000137, 10000139

◆素数位置特定アルゴリズム
Table[Product[C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,525}],{n,5000050,5000070}]

{0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1}

二つを組み合わせる事により、
素数の位置と個数がわかる


◆的中率100％

>>203
理由は

こんな暗算でできるレベルの話理由もクソもない

>>206
どう暗算した

>>200
|G|=p^2
|H|=p
(|G|-1)/(|H|-1)=p+1
H=<(1,n)>(n=0,...,p-1),<(0,1)>

>>202
なっ、ネタだろ

>>206
yah

>>206
答えられないんですねw

>>211
no use

>>212
brainless

>>213
>>208

ポップコーンを数式で表したいんですが...

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

変数変換の定理

A, B を R^n の開集合とする。
g : A → B をdiffeomorphismとする。
f : B → R を連続関数とする。

このとき、

f は B 上で積分可能 ⇔ (f・g) |det Dg| は A 上で積分可能

が成り立つ。

f は B 上で積分可能または、 (f・g) |det Dg| は A 上で積分可能が成り立つとき、

∫_B f = ∫_A (f・g) |det Dg|

が成り立つ。

Munkresさんの本では、広義積分についての変数変換の定理のみ書かれています。
そして、広義積分は開集合上の連続関数に対して、ある条件をみたすものに対して定義されます。

Munkresさんの本での変数変換の定理は、杉浦光夫著『解析入門II』でいうと、変数変換公式IIと同じです。

変数変換公式Iに対応する定理が書いていませんが、これは問題にはなりませんか？

例えば、 W = {(x, y) : x^2 + y^2 < a^2} 上の関数 x^2 * y^2 の積分については以下のように切り抜けます。

極座標変換は U = (0, a) ✕ (0, 2*π) から V = {(x, y) | x^2 + y^2 < a^2 and x < 0 if y = 0} へのdiffeomorphismです。

V は W からx軸の非負の部分を取り除いたものです。
ですので、

∫_W x^2 * y^2 = ∫_V x^2 * y^2

が成り立ちます。

∫_V x^2 * y^2 を計算するのに変数変換の定理を使えば、 ∫_W x^2 * y^2 の値が求まるというやり方です。

このやり方でよく使われる極座標変換とかの計算は切り抜けるのですが、このようなやり方でいつでも切り抜けることができますか？

James R. Munkresさんのこの本は本当に素晴らしいです。
比べると杉浦光夫著『解析入門II』が以下に読みにくいかが分かります。
ただ馬鹿丁寧に書けばいいというものではないということがよく分かります。

広義積分についての変数変換の定理のみ書かれているというのもすっきりと書くための工夫だと思います。

杉浦光夫さんの本があんなに厚いのはただ馬鹿丁寧なだけで何も工夫がないからではないかと思ってしまいます。

Munkresさんの本を読んだ後に読むと杉浦光夫さんの本も理解できます。

例えば、 ∫_{-1}^{1} 1 / √(1 - y^2) dy を計算するときに、

(-π/2, π/2) ∋ t → y = sin t ∈ (-1, 1) というdiffeomorphismを使って変数変換の定理により、

∫_{-1}^{1} 1 / √(1 - y^2) dy = ∫_{-π/2}^{π/2} 1 dt = π と計算できます。

1変数の微分積分の通常の積分に対する置換積分では正当化されないやり方です。
Munkresさんの本での広義積分に対しての一般的な変数変換の定理のありがたみが分かる例になっています。

ところで、多変数の広義積分の定義を1変数の場合に考えた定義と微分積分の本によく書かれている1変数の広義積分の定義は一致するのでしょうか？

>>221
まともに勉強してるなら答えはすぐに分かるだろwww
本を読んでないのかよwww

>>220
>1変数の微分積分の通常の積分に対する置換積分では正当化されないやり方です。
どうして？

∫[0,1]dx/√x=∫[0,1]2dx=2 (x=t^2)
∫[0,∞]e^-xdx=∫[1,0](-1)dt=1 (t=e^-x)
∫[0,1]logxdx=∫[-∞,0]te^tdt=[te^t][-∞,0]-∫[-∞,0]e^tdt=1 (t=logx)

>>214
Get lost!

宿泊客3人がそれぞれ10万円出して、
30万円のホテルに泊まりました

しばらくしてホテルマンが
宿泊料が25万円だったことに気が
付きましたが、
2万円をネコババして、
3人に1万円ずつバックしました

宿泊客がそれぞれ9万円出して
27万円にホテルマンがネコババした
2万円を加えても30万円になりません

不思議ですね

テスト

不定積分
∫ 1/(a+b*cosx) dx
を求めよ。

いやどす

問題
Xをσ-コンパクト局所コンパクトハウスドルフ空間、μをその上の正則測度とする。
X上の可積分関数でコンパクトな台を持つ関数全体L_c(X)に
セミノルムp_w(f)=||wf||（L(X)ノルム）、w∈C_0(X)（X上のコンパクトな台を持つ連続関数の全体の空間）
を入れた時にL_c(X)はフレッシェ空間になる。

完備性の証明が分かりません。
f_nをコーシー列としたときに極限f∈L(X)の存在までわかったのですがfの台がコンパクトになることがわかりません。

そんなの成立しないのでは

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

以下の定理4.6ですが、結構長々と証明しています。

https://archive.org/details/MunkresJ.R.AnalysisOnManifoldsTotal/page/n46/mode/1up

以下の簡単な別証を思いつきました。

背理法により証明する。
どんな正の実数 ε に対しても、 X の ε 近傍は U に収まりきらないと仮定する。
各 n ∈ {1, 2, …} に対して、 X の点 x_n で、 |y_n - x_n| < 1/n をみたす R^n - U の点 y_n が存在するようなものが存在する。
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により、点列 (x_n) の部分点列 (x_{n_k}) で収束するような点列が存在する。
(x_{n_k}) は x に収束するとする。
各点 x_{n_k} は閉集合 X の点だから、 x ∈ X である。
ε を任意の正の実数とする。
k_0 を 1/n_{k_0} < ε/2 をみたすような正の整数とする。
k_1 を k ≧ k_1 ⇒ |x_{n_k} - x| < ε/2 をみたす正の整数とする。
k_2 := max{k_0, k_1} とする。
k ≧ k_2 ⇒ |y_{n_k} - x| ≦ |y_{n_k} - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x| < 1/n_k + ε/2 < ε/2 + ε/2 = ε が成り立つ。
よって、R^n - U の点列 (y_{n_k}) は点 x ∈ X に収束する。
一方、 (y_{n_k}) は閉集合 R^n - U の収束点列だから、 x ∈ R^n - U でなければならない。
X ⊂ U であるからこれは矛盾である。

エレガントな証明ですね。

閉集合 X と閉集合 (R^n - U) は共通部分をもちません。
閉集合 X の収束点列 (x_{n_k}) と閉集合 (R^n - U) の収束点列 (y_{n_k}) 考える。
(x_{n_k}) の収束先は X の点でなければならない。
(y_{n_k}) の収束先は R^n - U の点でなければならない。
ところが、これらの点列の収束先は同一の点 x である。

美しいですね。

日記帳

>>233
糞

>>233
ε<dist（X,U)
一行で終わり

>>230
訂正
セミノルムp_w(f)=||wf||（L(X)ノルム）、w∈C(X)

極限fの台はコンパクト
コンパクト集合の列K_1⊂⊂K_2⊂⊂・・・、X=∪K_j、をとる。fの台がコンパクトでないとすると、||f||_K_1>0、||f||_K_2-K_1>0・・・となる。
連続関数w1で台がK_1内にあるものをとってp_w1(f)>1とできる。連続関数w2で台がK_2-K_1内にあるものをとってp_w2(f)>2とできる。・・・
w(x)=Σwj(x)は連続関数で、p_w(f)は発散。矛盾。

イヤ無理やろ
supp が [n,n+1/2] でノルムが1/2^n の族たし合わせたらアウトやろ

分からん、俺の証明もざっくりだけどｗ

イヤだからそうゆう有限個の和はサポートコンパクトやろ？ノルムはcauchy列やろ？でも総和のサポートコンパクトじゃないやろ

セミノルムを定義するwは連続関数、訂正したが

[n,n-1/2]にサポート持ってる連続関数なんぞいくらでもあるやん

・fnはサポートコンパクトでLxxクラス
・Lxxノルムでfに収束
・ならばfのサポートもコンパクト

そんなこと言えるわけない

[n,n-1/2]にサポート持ってる連続関数なんぞいくらでもあるやん

・fnはサポートコンパクトでLxxクラス
・Lxxノルムでfに収束
・ならばfのサポートもコンパクト

そんなこと言えるわけない

反論になってない

fは任意のセミノルムに対してp_w(f)<∞なんだが

とりあえずステートメントわかるように書いて
任意のセミノルムってその位相ベクトル空間上考えうるすべてのノルム何もかもにたいしてって意味？

そもそも元の問題の元ネタ何？
Lcとか見たことないんだけど？

p_w(f)=||wf||（L(X)ノルム）、w∈C_0(X)（X上のコンパクトな台を持つ連続関数の全体の空間）

↑これの意味はもともと L(X) はなんかのノルムが入ってんの？そして w∈C_0(X) で w を一つ固定して ||wf|| をはかるの？
それじゃすでにあげてるやつで反例になるやん。
それ以外の意味にとりようないんだけど？
あるいは w をはしらせてその最大値をノルムと考えるの？

バナッハ空間とフレッシェ空間の違いが分からないのか
フレッシェ空間は線型、局所凸、距離付け可能かつ完備な空間

フレッシェ空間の例は超関数の試験関数の空間S、Dが有名だろ

横レスだが、w∈C_0(X) については w∈C(X) と訂正が入ってる(>>239)から、
そっちで考えるんだろう。つまり

p_w(f)=||wf||（L(X)ノルム）、w∈C_0(X)（X上のコンパクトな台を持つ連続関数の全体の空間）

ではなくて

p_w(f)=||wf|| (L(X)ノルム), w∈C(X) (C(X)はX上の連続関数全体)

ってこと。L(X)ノルムが何なのかは書いてないが、まあ普通に

||g||：＝∫_X |g(t)|dμ(t) (g∈L(X))

だろう。

そして、確かに w∈C(X) なら、>>239の方針で完備性が証明できそうに見える。
むしろ問題なのは、{p_w}_{w∈C(X)} はセミノルムの非可算族であること。
フレシェ空間なら、セミノルムの可算族でなければならない(完備性だけではダメ)。
そして、セミノルムの可算族で {p_w}_{w∈C(X)} と同値なものが取れるようには見えない。
>>239での w(x)=Σwj(x) の構成の時点で、完備性のために必要な本質的な w は
非可算個になってしまう。

{p_w}_{w∈C_0(X)} だったら同値な可算族が取れそうだが、今度は完備にならない。

>>254
１．距離付け可能
コンパクト集合の列K_1⊂⊂K_2⊂⊂・・・、X=∪K_j、をとり、セミノルムp_j(f)=||f||_L(K_j)を考える。
セミノルム族{p_j}は可算でL_cの連続セミノルムの半基底になる。よって距離付け可能。
距離dはd(f)=Σ(1/2^j)p_j(f)/{1+p_j(f)}

２．完備性のうち極限の存在
f_nをコーシー列（任意の連続なセミノルムに対して）とする。L(K_j)の完備性からf_n->f^(j) inL(K_j)。極限の一意性からf^(j+1)のK_jへの制限はf^(j)に一致。
X上で関数fが定まり、p_j(f_n-f)->0。当然元のセミノルムでもp_w(f_n-f)->0。

添え字がめんどくさいので手抜きすまん

>>255
＞f_nをコーシー列（任意の連続なセミノルムに対して）とする。
＞L(K_j)の完備性からf_n->f^(j) inL(K_j)。
＞極限の一意性からf^(j+1)のK_jへの制限はf^(j)に一致。
＞X上で関数fが定まり、p_j(f_n-f)->0。当然元のセミノルムでもp_w(f_n-f)->0。

この議論だけでは p_w(f_n-f)->0 は言えないはず。

・f_n が { p_w }_{w∈C(X)} に関してコーシー列のとき、
　あるコンパクト集合Kが存在して、任意の n に対して supp(f_n) ⊂ K が成り立つ

が言えないとダメでは？

あるいは、p_j の性質をどこかで使ってるのかもしれんけど、それなら

・ 任意の w∈C(X) に対して、ある A＞0 と i≧1 が存在して、p_w(g) ≦ A p_j(g) (∀g∈L_c(X))

が先に示せてないとね。

>>256
セミノルム族{p_j}は可算でL_cの連続セミノルムの半基底になる。

・連続セミノルムの半基底の証明
ｆの台をKとするとあるK_jに対してK⊂K_j、よってp_w(f)<=sup|w(x)|p_j(f)

二つのセミノルム族{p_j}と{pw}の定める局所凸位相は同じもの。

>>258
今の場合、w∈C_0(X) ではなく w∈C(X) なので、w はX上で非有界の可能性がある。
実際、>>239の w＝Σwj(x) は、一般には X 上で非有界である。そのような w に対して、

＞ｆの台をKとするとあるK_jに対してK⊂K_j、よってp_w(f)<=sup|w(x)|p_j(f)

この部分は p_w(f)<=sup|w(x)|p_j(f) ＝ ＋∞ p_j(f) となり、破綻する。

より具体的に間違いを指摘する。

・ 任意の w∈C(X) に対して、ある A＞0 と i≧1 が存在して、p_w(g) ≦ A p_j(g) (∀g∈L_c(X))

を示したい。ここでの A と i は、w にのみ依存することに注意せよ。g に依存してはならない。
さて、w∈C(X) として、sup_{t∈X}|w(t)|＝＋∞ を満たすものを取る。
「 p_w(g) ≦ A p_j(g) (∀g∈L_c(X)) 」が成り立つような、
g に依存しない i≧1 と A＞0 を取りたい。>>258 の計算だと、

p_w(g)＝∫_X |w(t)g(t)|dμ(t) ＝ ∫_{supp(g)}|w(t)g(t)|dμ(t)

≦ sup_{t∈supp(g)}|w(t)| ∫_{supp(g)}|g(t)|dμ(t)

までは言える。この表示から A＞0 を算出しようとすると、
g を g∈L_c(X) 全体で動かしたときの「 sup_{t∈supp(g)}|w(t)| 」の上限を
A と置くことになる。しかし、g を動かせば、集合 supp(g) も大きくなるので、
sup_{t∈supp(g)}|w(t)| の値も大きくなり、その上限は明らかに ＋∞ であり、
よって A は有限値にできない。
問題はそれだけではない。∫_{supp(g)}|g(t)|dμ(t) の部分は p_j(g) という形で
上から抑えなければならない。つまり、

∫_{supp(g)}|g(t)|dμ(t) ≦ (定数)∫_{K_j} |g(t)|dμ(t)

という、g に依存しない K_j が取れなければならない。
しかし、g∈L_c(X) 全体で動かすのだから、固定された j に対して
いつでも supp(g) ⊂ K_j とできるわけではなく、ここでも失敗している。

もしくは、>>255 では

＞セミノルムp_j(f)=||f||_L(K_j)を考える

と書いてあるので、最初から L_c(K_j) しか眼中にないのかもしれない。
この場合、>>258で言えていることは

・ 任意の w∈C(X) と任意の j≧1 に対して、ある A＞0 が存在して、p_w(g) ≦ A p_j(g) (∀g∈L_c(K_j))

ということにすぎない。つまり、g∈L_c(X) 全体ではなく、K_j 上に制限した
g∈L_c(K_j) だけを考えており、そこでは p_w(g) ≦ A p_j(g) が成り立つということ。
そういう意味で>258を書いているのだとしたら、L_c(K_j)上で p_w(g) ≦ A p_j(g) が成り立つことは
実際に正しいが、だからと言って L_c(X) 上で同値になることは示せてないので、結局ダメ。

>>259
fの台Kはコンパクト、そこに限定してくれ

>>259
訂正
p_w(f)<={sup|w(x)|x∈K}p_j(f)

>>259
再訂正
p_w(f)<={sup|w(x)|x∈K_j}p_j(f)

>>262-264
そのように限定した場合の反論は>>261に既に書いてある。結局ダメ。

そもそも、距離化できないことが証明できちゃったよ。

SはCベクトル空間とする。p＝(p_λ)_λ は S 上のセミノルムの族とする。
p から作られるS上の位相をθ_pと書くことにする。

下記の定理はフレッシェ空間を論じる際の基本的な定理であるから、
証明は省略する。ただし、手元に証明はあるので、要望があれば後で証明を書く。

定理1：SはCベクトル空間とする。p＝(p_λ)_λ はS上のセミノルムの族とする。
もしθ_pが距離化可能ならば、S上のセミノルムの可算無限集合 r＝{ r_n｜n≧1 }が
存在して、θ_p＝θ_r かつ r_n≦r_{n＋1} (n≧1)が成り立つ。特に、次が成り立つ。

(1.1) ∀p_λ∈p, ∃r_n∈r, ∃A＞0, ∀s∈S s.t. p_λ(s) ≦ A r_n(s).

定理2：>>230の設定のもとで、
さらに次を満たすコンパクト集合の列 { K_j }_{j≧1} と、
X上の連続関数の列 {w_j}_{j≧1}が存在するとする。

・ K_1⊂⊂K_2⊂⊂・・・, ∪_j K_j＝X,
・ supp(w_1)⊂int(K_1), supp(w_j)⊂int(K_j)−K_{j−1} (j≧2), ∫_X|w_j(t)|dμ(t)＞0 (j≧1).

このとき、p：＝{ p_w }_{w∈C(X)} から作られるL_c(X)上の位相θ_pは距離化できない。

>>265
L_c={fはX上可積分| ｆの台はコンパク}の線形空間。
勘違いしてる。

証明：定理1により、L_c(X) 上のセミノルムの可算無限列 r＝{ r_n }_{n≧1} が
存在して、次が成り立つ。

(2.1) ∀w∈C(X), ∃n≧1, ∃A＞0, ∀g∈L_c(X) s.t. p_w(g) ≦ A r_n(g).

n,A は w に依存するので、wごとにn,Aを1つずつ取って
n＝n_w, A＝A_w と置いておく。よって、次が成り立つ。

(2.2) ∀w∈C(X), ∀g∈L_c(X) s.t. p_w(g) ≦ A_w r_{n_w}(g).

さて、g_j＝1_{K_j}∈L_c(X) と置いて、a_{n,j}：＝r_n(g_j) と置く。
さらに、b_j＝ j * max{ 1＋a_{n,j}｜1≦n≦j } (j≧1) と置く。

w(x)：＝Σ[k＝1〜∞] b_k w_k(x) / ∫_X|w_k(t)|dμ(t)

と置くと、w∈C(X) である。(2.2)により、任意の j≧1 に対して
p_w(g_j) ≦ A_w r_{n_w}(g_j)＝ A_w a_{n_w,j} である。
また、p_w(g_j)＝Σ[k＝1〜j] b_k ≧ b_j である。
また、j≧n_w のとき b_j≧j(1＋a_{n_w,j})である。よって、j≧n_w のとき

j(1＋a_{n_w,j}) ≦ b_j ≦ p_w(g_j) ≦ A_w a_{n_w,j} ≦ A_w (a_{n_w,j}＋1)

となるので、j≦A_w である。j≧n_w は任意だから矛盾。

>>268
勘違いしてるのはそっち。ある特定のコンパクト集合Kがあって

L_c(X)＝{ fはX上可積分| supp(f)⊂K }

と定義されているなら問題ないが、実際には

L_c(X)＝{ fはX上可積分| supp(f)はコンパクト }

と定義されていて、supp(f)の大きさに制限がない。
よって、f∈L_c(X) を任意に取ると、supp(f) の大きさは f ごとに異なる。
もしここで、コンパクト集合Kを固定して、supp(f)⊂K なる f だけを
考えるのであれば、それは結局、f∈L_c(X) 全体を考えているのではなく、
L_c(X) の何らかの部分空間 M 上に限定して考えていることになる。
すると、fを f∈M の範囲で動かしたときにセミノルム間の不等式が言えても、
f∈L_c(X) 全体で動かしたときには、その不等式は破綻する。

そもそも、距離化できないことが証明できちゃったんで(>>266-270)、
もう何をしても無駄だよ。

>>230
再掲

問題
Xをσ-コンパクト局所コンパクトハウスドルフ空間、μをその上の正則測度とする。
X上の可積分関数でコンパクトな台を持つ関数全体L_c(X)に
セミノルムp_w(f)=||wf||（L^1(X)ノルム）、w∈C(X)（X上の連続関数の全体の空間）
を入れた時にL_c(X)はフレッシェ空間になる。

（注）位相はセミノルム族S={p_w| w∈C(x)}で定まる局所凸位相
（注）フレッシェ空間とは、線型、局所凸、距離付け可能かつ完備な空間
（注）局所p乗可積分空間L_c^p(X)、1<=p<=∞、も同様にフレッシェ空間

>>272
フレシェ空間にならない。その証明は>>266-270に書いた。

面倒くさがらずに読んでみてよ。

>>273
付き合ってくれてありがとう。頭を冷やして考えてみる。

>>273
そうだねK_jはfに依存しちゃうね。

>>266
たぶん、知ってる

>>266
証明の所はともかく、>>258ではそれと同様な定理を使っている

Jame R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

Theorem 16.3 (Existence of a partition of unity).

Let A' be a collection of open sets in R^n; let A be their union. There exists a sequence φ_1, φ_2, … of continuous functions φ_i: R^n → R such that:
(1) 略
(2) The set S_i = Support φ_i is contained in A.
(3) Each point of A has a neighborhood that intersects only finitely many of the sets S_i.
(4) 略
(5) 略
(6) 略
(7) 略

なぜ、(3)は以下のように変更できないのでしょうか？

(3) Each point of A has a neighborhood that intersects only finitely many of the sets S_i.

↓

(3) Each point of A is a point of only finitely many of the sets S_i.

>>272
再々訂正
セミノルムをp_w(f)=||wf||（L^1(X)ノルム）、w∈C_b(X)（X上の有界連続関数の全体の空間）
にすればいけそう

連続セミノルムの半基底と極限の台がコンパクとになるとこはいけそう

>>280

X＝R, μ＝(1次元ルベーグ測度),
f_n＝Σ[k＝1〜n](1/2^k)1_{ [k,k＋1) } (n≧1)

と置くと、f_n∈L_c(X) であり、これはセミノルムの族 { p_w }_{w∈C_b(X)} に関して
コーシー列になるが、極限関数は台がコンパクトにならない。

やはり無理やろ
wikiの半ノルム族の定める位相の項見てきたけどそれで確かめると

補題　(f,g) → f±g, (t,f) → tf は連続写像となりV に位相ベクトル空間構造与える

(∵) そやろな⬜︎

が成立してる
なら fn, gn, rnを
　1) supp( fn ) は互いにdisjoint でコンパクト、∪supp(fn) はコンパクトでない
　2) g0 = 0
　3) g_n = g_n-1 + rn fn、ただしrn は d( gn, g_n-1) < 1/2^n を満たすように選ぶ
で構成できる
gnの各項はコンパクトサポートだけど極限はダメやん

>>282
(3)に書いてある d は距離でしょ？距離化可能なら、大体そのやり方で
極限がコンパクトサポートにならないことが言える。
「やはり無理やろ」ってのは、この意味において正しい。

一方で、距離化可能でなくてもいいなら、極限がコンパクトサポートを持つようにできる。
実際、{ p_w }_{w∈C(X)} を使う場合は、距離化可能ではなく(証明は>>266-270)、
そして極限はコンパクトサポートを持つ(証明は>>239)。ということは、
>282 の g_n は { p_w }_{w∈C(X)} に関してはコーシー列にならないことになるが、
実際に特定の w に対してコーシー条件を満たさない。
簡単に言うと、supp(w)＝∪supp(fn) となる X 上の連続関数 w であって、
各 supp(fn) 上での w(x) の値が n に応じてめちゃくちゃ大きいものを取っておけば、
この w に対して lim[n→∞] p_w(g_n−g_{n−1})＝＋∞ なので、
コーシー列にならない。

そう、そもそも一般には距離化可能ですらない
しかしながらまぁ距離化可能なクラスに絞ってもそれなりに有用らしい
フレッシェ空間とかいうそうな
そもそも距離化可能でなきゃ完備もへったくれもないしな
さっきの列はつまり

そのような距離化可能という仮定を入れてなお主張は成り立たない

という話

多分1番簡単な例は　l^1 に距離を

d(an, bn) = || an - bn ||/(1 + || an - bn ||

みたいに入れた場合(多分件の半ノルム族の定める位相はコレ)

コンパクトサポートは有限列、でもこの距離で完備にならない

>>284
＞そもそも距離化可能でなきゃ完備もへったくれもないしな

それは違う。完備性は、距離化可能でない位相空間でも定義可能。
だからといって任意の位相空間で完備性が定義できるわけではないが、
一様構造の入った位相空間(一様空間と呼ばれる)なら完備性が定義可能。
そのような位相空間は、適切な擬距離の集合から定まる事が知られている。
もし可算無限個の距離だけで定まるなら、そのときは距離化可能である。
逆に、擬距離の個数を可算無限個に抑えられない場合は、距離化は不可能。
それでも、完備性の概念は定義できる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%A7%98%E7%A9%BA%E9%96%93

なので、今回の場合だと、{ p_w }_{w∈C(X)} を使うケースでは、
距離化可能ではないが完備性の概念は定義できて、しかも実際に完備になり、
極限はコンパクトサポートを持つ。
なので、{ p_w }_{w∈C(X)} のケースは決して無意味ではない。
距離化できないのは残念だね、っていうだけの話。

そうなんだ
距離空間の場合しか完備の定義知らん
少なくともwikiの半ノルムの項とかには距離化可能が大前提だったし

まぁでも元の質問者の完備は距離空間の完備だと思うよ
フレッシェ空間になる証明のうち完備性の部分がわからないって話だったから
いつでも距離化可能と勘違いしてたのか、書き漏れなのかは知らんけど

>>287
＞少なくともwikiの半ノルムの項とかには距離化可能が大前提だったし

半ノルムの話題で「距離化可能が前提」ってのはよく分からんな。
半ノルムは1つだと使い物にならないので、十分な個数の半ノルムを持ってきて、
その「族」を用いて位相を定義するってのが普通の文脈のはず。
そこで使っている半ノルムの族が可算無限個の半ノルムに減らせるなら
距離化可能だし、そこまで減らせないなら距離化は不可能で、
それでも一様空間にはなってるから完備性の概念は定義可能。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0

上記の記事の「半ノルム族」の節でも、「半ノルムの族 (pi)i∈I 」とは
書かれているが、I を可算無限集合に限定してはいない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E5%87%B8%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93

こちらの記事でも、距離化可能という文脈に限定してはいない。なんなら

＞距離化可能なフレシェ空間とは異なり、一般の空間は非可算の擬距離の族によって
＞定義されることもあり得るため、ここでの完備性の定義は、
＞列を使ったより有名なものの代わりにネットを使って行う。

と明記されている。

>>288
＞まぁでも元の質問者の完備は距離空間の完備だと思うよ

ここはそのとおり。質問者は { p_w }_{w∈C(X)} でも
距離化可能だと勘違いしてたし。

L_c^p(X)のセミノルムp_wの重みw∈C(X)とする。
L_c^p(X)のコーシー有向族f_μ：p_w(f_μ-f_ν)<ε、の極限fは存在してf∈L^p(X)でp_w(f_μ-f)->0。
L^p(X)の完備性とルベーグの収束定理による。

みなさん、お疲れ

関数解析は畑違いなのでようわからないけど数学の概念は広けりゃいいってもんでもないんやろ
1番の使いどころはやっぱり微分方程式とかでそこでBanach Alaoglu とか 閉写像定理とかの道具が使えてなんぼで古典的なノルム空間論で成功したそれらの技術が使えなきゃ面白くないようやな
で、それらが割とそのまま使える拡張がフレッシェ空間とかゆうやつで半ノルム族で位相が定められて距離化可能、完備まで要求するらしい
それでもノルム空間論では扱えなかったものがそのまま扱えていいらしいな
門外漢なんでわからんけど

Jame R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

Theorem 16.3 (Existence of a partition of unity).

Let A' be a collection of open sets in R^n; let A be their union. There exists a sequence φ_1, φ_2, … of continuous functions φ_i: R^n → R such that:
(1) 略
(2) The set S_i = Support φ_i is contained in A.
(3) Each point of A has a neighborhood that intersects only finitely many of the sets S_i.
(4) 略
(5) 略
(6) 略
(7) 略

なぜ、(3)は以下のように変更できないのでしょうか？

(3) Each point of A has a neighborhood that intersects only finitely many of the sets S_i.

↓

(3) Each point of A is a point of only finitely many of the sets S_i.

>>293
専門は何？

関数論ではないみたいだ

>>293
数学が畑違いなんだろ

xy平面からxy平面への写像 f で、

・原点を原点に移す
・単射
・異なる2点P,Qに対し、線分PQ上の点は線分f(P)f(Q)上の点に移る

を満たすものは、行列で表される線形変換に限るでしょうか。

>>298
連続性は？
仮定しないのなら選択公理を使えば病的な反例が作れる。

反例おしえて

工房臭い「xy平面」ということなので、R^2（＋てきとうな構造＋）で

>>298
昔、京大で田中昇先生が出された問題。
その時も連続性の仮定がついていなかったので
物議をかもした。

反例はなんちゃら基底って奴だろ？
知ってらあ

>>298
R (x軸と同一視する) とR^2それぞれのQ上の基底をとり、後者から前者への単射写像をQ線形に拡張すれば良い。
単射ではなく全単射だとR上の線型写像しかなかったはず。

すまん、直線じゃなくて線分だったか。
それだと無さそうな気もする。

Jame R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

Theorem 16.3 (Existence of a partition of unity).

Let A' be a collection of open sets in R^n; let A be their union. There exists a sequence φ_1, φ_2, … of continuous functions φ_i: R^n → R such that:
(1) 略
(2) The set S_i = Support φ_i is contained in A.
(3) Each point of A has a neighborhood that intersects only finitely many of the sets S_i.
(4) 略
(5) 略
(6) 略
(7) 略

なぜ、(3)は以下のように変更できないのでしょうか？

(3) Each point of A has a neighborhood that intersects only finitely many of the sets S_i.

↓

(3) Each point of A is a point of only finitely many of the sets S_i.

>>304
途中の点は全然別の基底で書かれるからそれは無理しょ
そんなf無いような気がするけんど証明は余白が狭くて無理

Qの代数構造を保存する
順序を保存する
これを満たすものは確かに線形写像しかない

>>308
Q-線形写像ね
R-線形を示そうとするとややこしくなる

初めて確定申告するんだけど算数がわからなくて困ってるから教えてほしい。
まず所得195万の人は5%の税金がかかる
195万円を超えた場合（330万まで）は10%の税金がかかる
例えば所得200万の場合、まず195万円の部分までは5%の税金、超えた5万円に10%の税金がかかるとのこと
これを式で表すと
195万×0.05＝97500円
200万−195万＝5万
5万×0.1＝5000円
97500円+5000円＝102500円

んで、ここからがわからない
解説書とか財務省のページには下のような式が記載されてる
200万円×0.1＝20万
20万−97500＝102500

200万円に税率10%を先にかけてそこから195万円の税率5%分を差し引いたら上の式と同じ税額が出てる
同じことを意味してるのに下の式だと理解できない

200万円×0.1－195万×(0.1−0.05)＝102500
と読み替えるんじゃね？

Jame R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

Theorem 16.3 (Existence of a partition of unity).

Let A' be a collection of open sets in R^n; let A be their union. There exists a sequence φ_1, φ_2, … of continuous functions φ_i: R^n → R such that:
(1) 略
(2) The set S_i = Support φ_i is contained in A.
(3) Each point of A has a neighborhood that intersects only finitely many of the sets S_i.
(4) 略
(5) 略
(6) 略
(7) 略

なぜ、(3)は以下のように変更できないのでしょうか？

(3) Each point of A has a neighborhood that intersects only finitely many of the sets S_i.

↓

(3) Each point of A is a point of only finitely many of the sets S_i.

>>309
R→RのQ線形写像で順序を不変にするものはR線形と言う意味
これは簡単というか自明、連続になるし

>>298
fの連続性が従うみたい。
ある点pとそれを内部に含む三角形を考えて、各頂点とpを結ぶ直線と対辺との交点から小さい三角形を順々に作っていく。
fで送った先でも同じことを考えることができ、各頂点はfで送った先で作った頂点に写る。
後は小さい三角形の内部がpの近傍系を成すことと、三角形上の各点が三角形上へ写ることから連続性が従う。

>>314
>三角形上の各点が三角形上へ写ることから連続性が従う
ちょっとギャップない？
三角形上の全部に写る必要ないから
三角形\pの写った先がf(p)の周りちょっと開けてしまわないのはなぜ？

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

今、変数変換の定理の証明を読んでいますが、もう一息で最後まで読み終わります。

微分積分、線形代数、複素関数論、常微分方程式論などの基礎的な数学の先の分野の有名な定理って基本的に、変数変換の定理の証明のような感じで証明するのが難しいのでしょうか？
変数変換の定理の証明を追っていくのはそれほど難しくはありませんが、最後まで読んでも正しいことは分かっても分かった気にはならないような気がします。
とにかく、正しいことが証明できているのだからそれでいいというような証明のような気がします。

基本的で重要な定理の証明ってだいたいそんな感じになりがちですか？

線分の集合で考えればいいのか

直線から直線への順序を保つ写像は高々可算個しか不動点をもてないのが味噌

×　高々可算個の不動点
〇　高々可算個の非連続点

変数変換の定理の証明を読み終わっても何か新しい世界への扉が開くというような感じは全くしないのではないかと思います。

だとすると、いっそのこと定理のステートメントを受け入れて証明を読まなかったとしても全く問題ないのではないかと思ってしまいます。

小平邦彦さんが、「I. ニーブンによる証明をはじめて読んだとき、それによってπが無理数であるという事実に対する理解が一段と深くなったとは感じなかった。証明はただπが無理数であるという明白な事実を確かめたに過ぎないと感じた。」
と書いていますが、それと同じことではないでしょうか？

>>322

訂正します：

小平邦彦さんが、「I. ニーヴンによる証明をはじめて読んだとき、それによってπが無理数であるという事実に対する理解が一段と深くなったとは感じなかった。証明はただπが無理数であるという明白な事実を確かめたに過ぎないと感じた。」
と書いていますが、それと同じことではないでしょうか？

またお前か

>>311
うーん、絶望的に俺の算数のセンスが無くてやっぱりわからんわ
200万円の10%から195万円の5%を引いたら200万円と195万円の差額の5万円の10%と195万円の5%と同じ額になるってのが腑に落ちない
というかどうしても飲み込めない
普通なら何言ってんだってレベルなんだろうけど

>>325
訂正
…差額の5万円の10%と195万円の5%を“足し合わせた額”と同じになるってのが腑に落ちない

>>325
仮に200万円まで一律10%だとすれば払い過ぎ。払い過ぎた額は195万円分のうち5%分(=10%-5%)ということ。

>>327
200万円の10%のなかに195万円の5%分が含まれてるからそれを引いてるってことだよね
そこが一番飲み込めない部分だわ
例えば200万の10%のうち、さらに50%（半額）分を引くみたいな算数なら理解できるんだけど

>>325
別のスレの方がよかろう

James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』

ついに、変数変換の定理の証明を最後まで読み終わりました。

微分積分学を学ぶものの数は多いですが、変数変換の定理の完全な証明を最後まで読み切るものがそのうち何パーセントいるでしょうか？

long goodby

長い別れ (創元推理文庫 Mチ 1-7) 文庫 – 2022/4/28
レイモンド・チャンドラー (著), 田口 俊樹 (翻訳)

The Long Goodbye
だよ。

フィリップ・マーロウの事件簿

佐武一郎著『線型代数学』

任意の n 次正方行列 A, B に対し、 A*B と B*A の固有多項式が同じであることを証明しています。

「任意の n 次行列 B に対し、 lim_{ν→∞} B_ν = B となるような n 次正則行列の’列’が存在する。（n 次正方行列全体の集合を n^2 次元Euclid空間と考えたとき、行列式が 0 になる行列全体はその (n^2 - 1) 次元の‘超曲面‘を作る。よってそれが B の近傍をうめつくすことはない。」

と書いていますが、この超曲面というのは多様体論とかを勉強しないと分かりませんか？

det は n 変数の多項式関数なので連続関数です。ですので、 B が正則行列であるならば、そのある近傍に属する行列はすべて正則行列になります。
B が正則行列でない場合を考えます。
B がゼロ行列ならば、 B の任意の近傍に ε * I_n （ε ≠ 0）という形にかける正則行列が存在します。
B がゼロ行列でなくかつ正則行列でもない場合にはどうするか？という話になると思います。
B の階数を考えてみましたが、どうすればいいかはぱっと思いつきません。

まあ、直感的に考えて、ある非正則行列の近傍がすべて非正則行列でうめつくされるというのは考えられませんよね。
ランダムに n 次正方行列を選べば、必ず正則行列になるでしょうから。

あ、佐武さんがその後に解決法を書いていました。

今、思いついた問題なのですが、これって簡単ですか？

n 次行列 A の固有値が 0 のみであるならば、 A はゼロ行列であることを示せ。

>>337

結局、佐武さんは n^2 - 1 次元の超曲面などという幾何学的な考え方を全く出さなくても良かったわけですが、なぜ超曲面などという言葉を登場させたのでしょうか？

ところで、この解析的な A*B と B*A の固有多項式が等しいという事実の証明法は有名な証明法なんですか？

佐武一郎さんはこの解析的な証明の後に、代数的な別解も書いています。
解析的な証明も代数的な証明も簡潔であるにもかかわらず分かりやすいです。

齋藤正彦さんの本と見比べると著者の力量の差を非常に感じます。

佐武一郎さんは齋藤正彦さんと比べて、非常に懐が深いと感じさせます。

never come again

>>335
>この超曲面というのは多様体論とかを勉強しないと分かりませんか？
行列式＝0で定義される点の全体考えて
行列式＝εも考えたら？

>>338
２行２列の行列で
第１行が(0 1)
第２行が(0 0)であるものの固有値は
すべて0であるというのは
正しいと思いますか
それとも誤りだと思いますか。

>>336
直感的というか>>344でどう？

>>339
分かりやすいからじゃないかな

>>345
あ、簡単な反例をありがとうございます。

>>344
どういうことですか？

>>340
これに関しては知らないけど
正則行列で寄せるのは一般的

>>335
任意ε>0に対してある正則行列Tがあって||T-B||<εが取れるというだけだろ、馬鹿過ぎ

>>338
べき零行列⇔固有値が0のみ

良スレ

Aはn次の複素正方行列とする。
行列の基本変形により、ある正則行列P,Qとある0≦r≦nが存在して、
PAQは対角行列であり、1番目からr番目までの対角成分は1で、
残りの対角成分は0であるようにできる。

ε＞0 を任意に取って PAQ＋εI を考えると、これは対角行列であり、
1番目からr番目までの対角成分は1＋εで、残りの対角成分はεである。
特に、PAQ＋εI は正則である。よって、P^{−1}(PAQ＋εI)Q^{−1} も正則。
すなわち、A＋εP^{−1}Q^{−1} は正則。さらに、ε→0 のとき、
行列の各成分ごとの極限として A＋εP^{−1}Q^{−1} → A が成り立つ。

Bを非正則とするとB+εIは正則

定理
バナッハ空間の下半連続なセミノルムは常に連続である。

証明が分かりません

無理やろ

>>356
S. Banach 1930

>>355
Théoreme sur les ensembles de premiere catégorie
Fundamenta Mathematicae 16, 1930, pages 395-398

それ読んでどこがわからんの？

無理せんでいいよ

まずセミノルム族の定める位相が理解できないと勉強詰むよ

それがどう関係してるの？

>>361
読んで説明してください、先輩
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm16127.pdf

もう信用ないんだよ
専門に勉強してきたくせに絶対成立してない話持ち出すし
今回も必要な条件読み飛ばしてるんじゃないの？

お前に信用がなくてもどうでもいいんだけど

いつものおちょこちょいだろ
>無理やろ

またお前か

wikiでは単なる閉集合だけでなく閉近傍まで要求してる

If p is a seminorm on a topological vector space X. then the following are equivalent.

1) p is continuous
2) p is continuous at 0
3) { x | p(x) < 1 } is open
4) { x | p(x) ≦ 1 } is closed nbd of 0
5) p is uniformly continuous
6) There exists continuous seminorm q st. p ≦ q

1930の時点でclosed nbd of 0 が単なるclosedまで弱められる事が知られててwikiに載ってないとかある？

フーリエ変換で「積分値を無限大でとる」ってなんですか？よくわからないのですが

>>355
バナッハ空間Bの下半連続なセミノルムpとする。セミノルムpの単位球V_p={x∈B|p(x)<=1}は閉集合なのでベール性質をもつ。
V_pは内点を持つのでpは0で連続。よって任意の点でpは連続。

Lean で実装して確かめてみれば良いじゃん

V を R^n の部分線形空間とする。
V は R^n の閉集合であることを示せ。

V はある連立一次方程式の解の集合である。
V = {x ∈ R^n : A * x = 0} とする。
線形写像は連続写像であり、 {0} は R^n の閉集合である。
よって、 V は閉集合である。

V の基底を a_1, …, a_m とする。
A := (a_1, …, a_m) とおく。
V = {y ∈ R^n : y = A * x for some x ∈ R^m} である。

このことを使って証明するにはどうすればいいでしょうか？

>>374
>V を R^n の部分線形空間とする。
>V は R^n の閉集合であることを示せ。

R^nに離散位相を入れる
離散位相において全ての部分集合は閉集合である
よってVは閉集合

R^n - V が開集合であることを以下で示す。
R^n - V が開集合ではないと仮定して矛盾を導く。
R^n - V の内点でないような y ∈ R^n - V が存在する。
k を任意の正の整数とする。
|A * x_k - y| < 1 / k をみたす x_k ∈ R^m が存在する。
点列 (A * x_k) は y に収束する。

以下どうすればいいでしょうか？

>>370
自明だから？

n✕n行列Aを考える
Aの各要素は各々独立に標準正規分布Ｎ(0,1)に従うものとする
このときAが正則となる確率を求めよ

直感的にa.e.でフルランクになる気がしますが、正式な証明を教えてください

>>374
x_nをVの列でx_n->xとする。Vの直交基底e_jをとってx_n=a1_n・e_1+・・・+am_n・e_mと表わすと各係数aj_nがajに収束することがわかる。
よってx=a1・e_1+・・・+am・e_m∈V

R^n の線型部分空間がある線形写像のkernelになるという事実は重要だと思いますが、ほとんどの教科書に書いていません。
なぜでしょうか？

閉集合と閉近傍の区別がつかんのやろ

>>380

ありがとうございました。

x_n を V の収束点列とする。
x_n を V の正規直交基底の一次結合で表わしたときの係数の組を (a_{1, n}, …, a_{m, n}) ∈ R^m とする。
R^n は完備だから、 (a_{1, n}, …, a_{m, n}) → (a_1, …, a_m) となるような (a_1, …, a_m) ∈ R^m が存在する。
x := a_1 * e_1 + … + a_m * e_m ∈ V とおく。
明らかに、 x_n → x である。
よって、 V は閉集合である。

>>371
それこれのことだろ
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518603293/138

>>381
商を作る方が大切だから？
作り方から自明だし

>>382

訂正します：

V を R^n の部分線形空間とする。
V は R^n の閉集合であることを示せ。

V はある連立一次方程式の解の集合である。
V = {x ∈ R^n : A * x = 0} とする。
線形写像は連続写像であるから、 {x ∈ R^n : A * x > 0} および {x ∈ R^n : A * x < 0} は R^n の開集合である。
よって、 V は閉集合である。

>>379
det(A)≒0を積分するだけ
こんな書き方できるか知らんが
∫[det(A)=0]dA=0
を示せばよくて
頑張ればできるでしょ
頑張らなくても？

>>381
なんで重要なの？どんな時使う？

>>388

例えば、以下の事実の証明で使っています。

V を R^n の部分線形空間とする。
V は R^n の閉集合であることを示せ。

V はある連立一次方程式の解の集合である。
V = {x ∈ R^n : A * x = 0} とする。
線形写像は連続写像であるから、 {x ∈ R^n : A * x > 0} および {x ∈ R^n : A * x < 0} は R^n の開集合である。
よって、 V は閉集合である。

>>372

>V_pは内点を持つので

なぜ？

イヤホ、それがカテゴリー定理からいえると

でもまだわからない
連続というならpの(-1,1)の引き戻し{ p(x)<1 }が0の近傍である事が示されなければならない
開集合を含むからと言ってもだから0の近傍とは言えないのでは？

内点えお原点にずらしてから縮めるのか

アレ？なら下半連続性とかどこで使ってる？
p がseminormだけで

∪{ p(x) < n }

は全空間を被覆してどれかひとつは0の近傍まででるのでは？
だから空間が完備まで仮定してる時点で下半連続性とか意味なくなってるんじゃないの？