以下の簡単な別証を思いつきました。

背理法により証明する。
どんな正の実数 ε に対しても、 X の ε 近傍は U に収まりきらないと仮定する。
各 n ∈ {1, 2, …} に対して、 X の点 x_n で、 |y_n - x_n| < 1/n をみたす R^n - U の点 y_n が存在するようなものが存在する。
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により、点列 (x_n) の部分点列 (x_{n_k}) で収束するような点列が存在する。
(x_{n_k}) は x に収束するとする。
各点 x_{n_k} は閉集合 X の点だから、 x ∈ X である。
ε を任意の正の実数とする。
k_0 を 1/n_{k_0} < ε/2 をみたすような正の整数とする。
k_1 を k ≧ k_1 ⇒ |x_{n_k} - x| < ε/2 をみたす正の整数とする。
k_2 := max{k_0, k_1} とする。
k ≧ k_2 ⇒ |y_{n_k} - x| ≦ |y_{n_k} - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x| < 1/n_k + ε/2 < ε/2 + ε/2 = ε が成り立つ。
よって、R^n - U の点列 (y_{n_k}) は点 x ∈ X に収束する。
一方、 (y_{n_k}) は閉集合 R^n - U の収束点列だから、 x ∈ R^n - U でなければならない。
X ⊂ U であるからこれは矛盾である。