>>254
１．距離付け可能
コンパクト集合の列K_1⊂⊂K_2⊂⊂・・・、X=∪K_j、をとり、セミノルムp_j(f)=||f||_L(K_j)を考える。
セミノルム族{p_j}は可算でL_cの連続セミノルムの半基底になる。よって距離付け可能。
距離dはd(f)=Σ(1/2^j)p_j(f)/{1+p_j(f)}

２．完備性のうち極限の存在
f_nをコーシー列（任意の連続なセミノルムに対して）とする。L(K_j)の完備性からf_n->f^(j) inL(K_j)。極限の一意性からf^(j+1)のK_jへの制限はf^(j)に一致。
X上で関数fが定まり、p_j(f_n-f)->0。当然元のセミノルムでもp_w(f_n-f)->0。

添え字がめんどくさいので手抜きすまん