もしくは、>>255 では

＞セミノルムp_j(f)=||f||_L(K_j)を考える

と書いてあるので、最初から L_c(K_j) しか眼中にないのかもしれない。
この場合、>>258で言えていることは

・ 任意の w∈C(X) と任意の j≧1 に対して、ある A＞0 が存在して、p_w(g) ≦ A p_j(g) (∀g∈L_c(K_j))

ということにすぎない。つまり、g∈L_c(X) 全体ではなく、K_j 上に制限した
g∈L_c(K_j) だけを考えており、そこでは p_w(g) ≦ A p_j(g) が成り立つということ。
そういう意味で>258を書いているのだとしたら、L_c(K_j)上で p_w(g) ≦ A p_j(g) が成り立つことは
実際に正しいが、だからと言って L_c(X) 上で同値になることは示せてないので、結局ダメ。