やはり無理やろ
wikiの半ノルム族の定める位相の項見てきたけどそれで確かめると

補題　(f,g) → f±g, (t,f) → tf は連続写像となりV に位相ベクトル空間構造与える

(∵) そやろな⬜︎

が成立してる
なら fn, gn, rnを
　1) supp( fn ) は互いにdisjoint でコンパクト、∪supp(fn) はコンパクトでない
　2) g0 = 0
　3) g_n = g_n-1 + rn fn、ただしrn は d( gn, g_n-1) < 1/2^n を満たすように選ぶ
で構成できる
gnの各項はコンパクトサポートだけど極限はダメやん