関数解析は畑違いなのでようわからないけど数学の概念は広けりゃいいってもんでもないんやろ
1番の使いどころはやっぱり微分方程式とかでそこでBanach Alaoglu とか 閉写像定理とかの道具が使えてなんぼで古典的なノルム空間論で成功したそれらの技術が使えなきゃ面白くないようやな
で、それらが割とそのまま使える拡張がフレッシェ空間とかゆうやつで半ノルム族で位相が定められて距離化可能、完備まで要求するらしい
それでもノルム空間論では扱えなかったものがそのまま扱えていいらしいな
門外漢なんでわからんけど