V を R^n の部分線形空間とする。
V は R^n の閉集合であることを示せ。

V = R^n ならば、 V は R^n の閉集合である。
V = {0} ならば、V は R^n の閉集合である。
V ≠ {0} かつ V ≠ R^n とする。
dim V = p とする。
0 < p < n である。
v_1, …, v_p を V の正規直交基底とする。
v_1, …, v_p, v_{p+1}, …, v_n を R^n の正規直交基底とする。
x ∈ R^n - V とする。
x = x_1*v_1 + … + x_p*v_p + … + x_n*v_n とする。
x と V との距離は √[(x_{p+1})^2 + … + (x_n)^2] である。
ε = √[(x_{p+1})^2 + … + (x_n)^2] / 2 とする。
x を中心とする半径 ε の開球を B(x; ε) とする。
B(x; ε) ∩ V = ∅ である。
よって、 R^n - V は開集合である。
よって、 R^n - V は閉集合である。