環論の加群や基底に関する質問です

ある本で、
『R:環, M:R加群, U:Mの部分部分集合 とする。
UがMのR上の基底であるための必要十分条件は、Mの任意の元が
Σru（有限和） (r∈R, u∈U)
の形に一意に表せることである。』
という風に書かれているのですが、これの証明がわかりません
「基底⇒一意に表せる」は容易に示せましたが「一意に表せる⇒基底」の示し方が思い付きません

わかる方がいらっしゃいましたら教えていただきたいです
よろしくお願いします