M を R^n の部分集合とする。
U を R^k の開集合とする。
V を M の開集合とする。
α : U → V を C^r 級の写像とする。
β : V → R^k を C^r 級の写像とする。
このとき、 β・α : U → R^k は C^r 級の写像である。

と書いてあります。

V は R^n ではなく M の開集合です。
β : V → R^k が C^r 級であるというのは、
V を含む R^n の開集合があって、その上で C^r 級であるような β の拡張された写像が存在することを言います。
この拡張された関数は一意的には決まりませんが、それは問題ないですか？