まず、前振り
>>415 より
https://researchmap.jp/blogs/blog_entries/view/92228/98e56ed2a2e2f485f4c22d2bcac369c0?frame_id=526781
2つの封筒問題 2014/04/07 関 勝寿

1.2つの封筒があり、それぞれにお金が入ってます。片方の封筒に入っている金額が、もう片方の封筒に入っている金額の2倍となっていることが分かっています。
　あなたは、最初にどちらか片方の封筒を選び、中身を見る事ができます。その後、改めてどちらの封筒を選ぶか決めることができます。二度目に選んだ封筒の中身をもらうことができます。

　最初の封筒に1万円入っていました。この時、封筒を交換する方が得か、交換しない方が得か、あるいはどちらでも同じか？
　最初に選んだ封筒を封筒Aとすると、ランダムに封筒を選んだことから、封筒Aが金額の小さい封筒である確率は1/2、金額の大きい封筒である確率は1/2です。すると、もう片方の封筒Bに入っている金額は、1/2の確率で2万円、1/2の確率で5000円となります。したがって、封筒Bに入っている金額の期待値は 1/2*20000+1/2*5000=12500 より、12500円となります。封筒Aを封筒Bに交換する事で、期待値が2500円増えますから、交換する方が得です。

ゲームのルールに関する補足
封筒を開けた後に「封筒を変えてもいいよ」と言われる、というバージョンをよく見かけますが、その場合には、自分が大きい金額の封筒を取った場合にのみ「封筒を変えてもいいよ」と言われる、小さい金額の封筒を取ったらそのように言われなかった、という可能性があります。そのような可能性を考えて「変えてもいいよと言われたからには、封筒を変えない方がいい」という回答が成立します。封筒を開ける前から、封筒の交換が許される事をルールとして設定しておくことで、そのような可能性について考える必要はなくなり、純粋にパラドックスの部分を議論することができます。

期待値計算はこれでいいのか？
2.(1)の議論とはまた別に、そもそもこの期待値計算はおかしいんじゃないの？という議論がされることもあります。では、こう考えたらどうでしょうか。封筒を開けて1万円得た時点で、残りの封筒には2万円入っている確率と5000円が入っている確率が等しくなっている。そこで、その1万円を払って、コインを投げて、表が出たら2万円をもらい、裏が出たら5000円をもらう、という賭けをするかどうか。こういう条件だったら、1万円を出して期待値12500円の賭けをするから得だ、だからその賭けをしよう、という期待値計算は問題ないように思えます。だとすると、封筒問題はそれとはどう違うのでしょうか？

つづく