佐武一郎著『線型代数学新装版』

p.143のHamilton - Cayleyの定理の証明に無駄な箇所があると書きました。
今日、見直してみたのですが、結構微妙だと思いました。

佐武さんは、

det (x*I_n - A) * I_n
=
(x^{n-1}*B_0 + x^{n-2}*B_1 + … + B_{n-1}) * (x*I_n - A)
=
(x*I_n - A) * (x^{n-1}*B_0 + x^{n-2}*B_1 + … + B_{n-1})

と書けるから B_0, B_1, …, B_{n-1} は A と交換可能である。

だから、

f_A(A) = (A - A) * (B_0*A^{n-1} + B_1*A^{n-2} + … + B_{n-1}) = 0

が成り立つと論じています。

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ところが、 C が A と交換可能であるとすると、

f_A(C) = (B_0*C^{n-1} + B_1*C^{n-2} + … + B_{n-1}) * (C - A)

が成り立ちます。

A は A と交換可能なので、

f_A(A) = (B_0*A^{n-1} + B_1*A^{n-2} + … + B_{n-1}) * (A - A) = 0

が成り立ちます。

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ですので、 B_0, B_1, …, B_{n-1} は A と交換可能であることを証明するのはoverkillなのではないかと思いました。

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ですが、 B_0, B_1, …, B_{n-1} はどれも A の多項式です。
ですので、 A と交換可能な行列 C は B_i とも交換可能です。

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overkillともいえないかなと思いました。