大学学部レベル質問スレ 26単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 25単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1706199058/
大学学部レベル質問スレ 24単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703434188/
大学学部レベル質問スレ 23単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/
大学学部レベル質問スレ 22単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

>>1
乙

しょーもない質問も増えたし
無くてもよかったんじゃね？

お前がいらない

無限次元の線形空間においては
ルベーグ測度が存在しないらしいが
本当か？

ルベーグ測度とは？

平行移動で不変

これに書いてあるよ
無限次元の測度　山崎

ボレル測度は存在するが平行移動不変性を要求するとどうなるかという話

爺さんに忠告、解析は知識を集めてもどうにもならんよ、地道に勉強するしかないのよ

ほら、答え
Infinite-dimensional Lebesgue measure
https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite-dimensional_Lebesgue_measure

>>10
R^∞のことを>>5は聞いてるんじゃ無いの？

>>11
それなら8に書いてあるよ、お前が答えてもいいんやで

この爺さん、質問するけど答えにはレスしない。理解できない、理解する気もないんだと思うよ

>>11
無元次元の線形空間はR^∞なのか？

無限次元ユークリッド空間におけるルベーグ測度は、一般的には存在しません。ルベーグ測度は、有限次元のユークリッド空間において、直積測度の極限として定義されます。しかし、無限次元空間では直積測度の極限を一般的には取ることができません。
ただし、無限次元のユークリッド空間においても、特定の条件下ではルベーグ測度を定義することが可能です。たとえば、Hilbert空間など、特定の構造を持つ無限次元空間において、ルベーグ測度を定義する手法が考案されています。しかし、これらの定義は一般的なものとは異なり、厳密な意味でのルベーグ測度としては扱いづらい場合があります。
そのため、無限次元ユークリッド空間における測度論的な議論では、通常は他の測度や積分論の手法が用いられます。

やっぱり、質問の投げ逃げだろ

経路積分の数学的厳密化

質問なのか、感想なのか、ポエムなのか？

>>18
厳密では？

経路に測度は入りません、キリィ

>>21
どうして？
経路ってRとかの像じゃないの？

>>22
経路積分とは何かね？

物理屋のいう経路積分とはこういうもの
http://www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp/~watamura/kougi/QFT2013_1.pdf

厳密な場の理論は出来てないので無理、できたらミレニアム賞getｗ

>>23
ベクトル解析では
v:R→R^n
f:R^n→R
limΣf(v(t))Δv(t)
だろ

>>25
>厳密な場の理論
物理はどうでもいいけど
ベクトル解析では
スカラー場は
f:R^n→R
ベクトル場は
f:R^n→R^m
だろ

>>26
経路積分ではない

今のレートだと一億五千万円、税金はかかるのだろうか？

線積分ではない

>>27
お前が経路積分をそういうものだというのはお前の勝手だが、18のとは違うと思うよ

>>27
何の問題を解いているのだろう？

>>27
場に反応しただけか

Path integral formulation
https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation

Expectation valuesの式がファイマン積分

18は経路積分と言いたかっただけだろう

>>30
なるほど
ウィキペディアによると物理の話なんね
ちょっと勉強してみるかな

これがお薦め
An Introduction To Quantum Field Theory　Peskin

ちょっと読んだけどウィキペ
すごく簡単に言うと変分法の逆みたいな？
変分法は関数による微分みたいな感じなので
関数（経路）による積分て感じなのかなと

これにて一見落着

wikiで分かったつもりになれるなんておっちゃんみたいだ

>>41
>経路の全体のなす空間に“測度”を定義できますか？
やっぱそういうことをしたいってことよね
測度定義する必要ないってのがそのファインマンの
なんかよくわからん無理矢理な定義式なんでしょ
綺麗にやるには測度かも知らんが無理かもね
経路に条件つけて減らしたり
何かしらの普遍性を捨てるしかないんじゃないかな

測度は領域に対して非負実数を対応させて
ある種の普遍性があるようなものだけど
関数空間（経路の空間）の可測集合みたいなのに
実数は足りなさすぎじゃないかな

しなくていい分けない
しなけりゃいけないけどできないから困ってる
それと君理解がいい加減すぎる

>>45
>しなくていい分けない
なにをしないの？

ウィキペディア読んだだけだからね
やりたいことは変分法の逆みたいな
変数の代わりに関数（経路）による
積分みたいなことだろうなぐらいの
表面的な印象なだけ

>>47
測度論は知ってるのに汎関数とか超関数とかを知らないような変な認識の人だね。

>>48
それも知ってはいるけど？
経路積分がどう言うことをしようとしているか
表面的なところが分かったって書いただけ
深煎りは自分にはできないのでこのくらい

藤原先生の解説
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/33/2/33_2_97/_pdf/-char/ja

文献10に経路に測度は入らないことが書いてある

指数p=7のフェルマー予想の証明について書かれた本またはpdfなどありませんでしょうか。
よろしくお願いします。

FLT は　regular prime について正しい
で7はregular prime のハズ

https://math.stackexchange.com/questions/1245616/fermats-last-theorem-and-mathbbz-xi

test

不定積分の計算について質問です。

∫ x dx を求めたいとします。

x = sin(t) と置換してこの不定積分を求めます。
t ∈ [-π/2, π/2] で sin(t) は単調増加関数ですので、逆関数が存在します。

被積分関数 x の定義域は I = [-1, 1] で考えます。
問題は、 I 上で x の原始関数を求めよという問題になります。

∫ x dx = ∫ sin(t) * cos(t) dt = ∫ (1/2) * sin(2*t) dt
= -(1/4) * cos(2*t) = -(1/4) * (1 - 2 * sin^2(t))
= (1/2) * x^2 - 1/4

と I 上で不定積分（原始関数）が求まりました。

(1/2) * x^2 - 1/4 は自然に R へ拡張可能です。
この関数を R 上で微分してみると x になります。

I 上での原始関数を求めたのですが、それから容易に R 上での原始関数が求まってしまいました。

不思議なのですが、これはどうしてでしょうか？

解析関数だから

>>55

ありがとうございます。

有理関数の分母の多項式が沢山の零点を持つにも関わらず、ある閉区間 I 上での不定積分を求めると、有理関数の分母の多項式の零点以外の点の集合上の不定積分に自動的になるのも同じ理由ですか？

あ、 ∫ 1/x dx を閉区間 I ⊂ (0, ∞) 上で求めると、 log(x) になりますが、閉区間 I ⊂ (-∞, 0) 上で求めると log(-x) になりますので、自動的とまでは言えませんね。

log(|x|) とまとめて書くことはできますが。

>>57
x>0のlogxを解析接続するとx<0でlog(-x)±iπになるよ
積分定数は任意だからx<0で実数関数にするならlog(-x)

+C

>>54
変数変換できる条件は？R全体で変数変換できれば不定積分は一致するだろ

不定積分は局所的な微分の逆演算とも言える

◆当選確率1/10000000 の宝くじ

10枚を1日で購入するのと

1枚づつ10日に分けて購入するのとで

当選確率に差はありますか？

何が違うの？


>10枚を1日で購入するのと


>1枚づつ10日に分けて購入するのとで

>>60
ああそうね考えてみたら
x=sintの変数変換が-1≦x≦1に限定というのも実関数の場合で
不定積分は別に実関数限定ではないのでxの範囲が限定されているわけでもないのか
x=(e^it-e^-it)/2i
e^2it-2ixe^it-1=0
e^it=ix±√(1-x^2)=i(x±√(x^2-1))
x>1 ⇔ t=π/2+is (s:0→∞)
x<-1 ⇔ t=-π/2+is (s:0→-∞)

>>64
>x>1 ⇔ t=π/2+is (s:0→∞)
>x<-1 ⇔ t=-π/2+is (s:0→-∞)
sの向き上下逆だった

それも間違い
どっちでもいい

ヤコビアンdx/dt=cost=0の点が離散的なのでたまたま繋がるという話だと思うけど
どうでもいいけど

>>67
別に繋げなくてもいいよ
でも繋げた方がRからRって感じ

関数の拡張なんだから繋げる話だろ

関数は定義域込みで関数だろ、定義域変えたら別の関数だろ

不定積分は発見的解法なので細かいことに拘ってもしょうがないｗ

>>70
別の関数でも同じsint
定義も同じ
sint=(e^it-e^-it)/2i
実数関数としても定義行きは
[-π/2,π/2]でも[π/2,3π/2]でもどうでもいい
Cの部分集合としての定義域はちぎれてても
どうせC→S^1×Rで繋がるし

>>72
一般的な話

>>73
何が？

>>74
関数

杉浦だと不定積分は関数の定義域を決めてる

>>54
これも決めてるか、微小区間[-δδ]でいいんだろ、何が問題なんだろ

やっぱりただ繋がる、拡張可能という話
この場合そもそも変数変換出来ない点が離散的なのでうまくつながる

一点で

変数変換ができなくても元の関数は連続なので定積分は連続

もっともらしい答えができた

定積分とはa+∫(a,x)f(t)dtの事ね

訂正
定積分はF(x)=F(a)+∫(a,x)f(t)dtの事ね
不定積分はF(x)+C

定積分を拡大解釈して線積分だと思えばf(x)=1/xの場合も扱える。
線積分による解析接続を考える。x=0が特異点なのでx<=0に切断を入れてlog(x)のリーマン面を考えて・・・

構成可能宇宙LがZFCのモデルになるとWikipediaに書かれているけど
モデルって集合じゃなくてクラスでもいいの？大丈夫？

そもそもだけど
集合の全体VはZFCのモデルってことにならない？
ならモデルがあれば無矛盾とか意味なくね？

はい

>>87
どれを？
・モデルって集合じゃなくてクラスでもいいの？大丈夫？
・集合の全体VはZFCのモデルってことにならない？
・モデルがあれば無矛盾とか意味なくね？
どれも？

n ≤ mとする
R^mのn本のベクトルv1, ..., vnによって作られる平行2n面体の体積を求めたい
<, >はR^mの標準内積とする


n = 1の場合
|v1| = √<v1, v1>

n = 2の場合
|v1| |v2| sinθ
= |v1| |v2| √(1 - cosθ^2)
= √((|v1| |v2|)^2 - <v1, v2>^2)

n = mの場合
det(v1, ..., vm)


n = 3, 4, ..., m - 1 の場合も表せますか？

v_1, v_2, ..., v_kで作られる平行2k面体の体積をV_kとして、

V_{k+1} = V_k * |v_{k+1}| sinθ

θは、v_{k+1}とspan(v_1, v_2, ..., v_k)のなす角

>>89
√det(vi・vj)の定数倍で求められたはず

いや定数倍は必要ないか
V=√det(vi・vj)

orthogonalize |span<u1,...,uk>|=|span<v1,...,vk>|=Π|vi|, vi⊥vj

>>89
>n = mの場合
>det(v1, ..., vm)
|det(v1, ..., vm)|

まじかよ
計量テンソルすごすぎ

位相空間Xから距離区間Yへの連続写像のなす空間C(X,Y)での基本近傍系の定義で
Un(f)＝{g∈C(X,Y)|sup{d(f(x),g(x)|x∈X)}≦cである0≦c＜1/nが存在する}
と本に書かれているのですが、これを単に
{g∈C(X,Y)|sup{d(f(x),g(x)|x∈X)}＜1/n}
書いても同じように見えます
何か差があるんでしょうか

証明は？

まず定義を書いてみろ

同じに1票

>>97
supは単なる実数か∞なのでそれがc<1/n以下である事と1/nより小さい事は同値
で良いと思うんですが、わざわざ複雑にこう書いてあると不安で

<ではなく≦で書きたかった？くらいしか想像できない

>>100
お前の解答じゃ不安になるよ

X上の一様収束位相か強いな、ともかく教科書の定義を確かめてみろ
XとYの位相、C(X,Y)の位相

答え
同じ、理由はYの位相は距離dでも距離cd（c>0）でも同じだから

訂正
理由　ただの言い換えだから

>>96
その本の書き方だと確かに同じだけど、本当はcがgに依存しない定数にしたかったのかもね
それなら例えばd(f,g_k)が1/nに単調増加に収束する関数列g_kを考えれば同じでないことがわかる

距離dがwell-definedでないけどいいんかいな

訂正
これがC(X,Y)の基本近傍系になっていないということ
Un(f)＝{g∈C(X,Y)|sup{d(f(x),g(x)|x∈X)}≦cである0≦c＜1/nが存在する}

普通はC(X,Y)の位相はXの各点収束、コンパクト集合上の一様収束位相を考える。
Yをコンパク化すればよさげだけどそれは別の話

局所一様

>>89
これ、A = (v1, ..., vn)として

|det(<vi, vj>)_i,j| = det(A)^2

になると思うんだけど、どうやって示すかわかりますか？
行展開して帰納法とかで行けるかなと思ったけど、イマイチ上手くいかない……

(<vi, vj>)_i,j = tA A　(tAはAの転置)

ああそっか、なるほど

ReidのUndergraduate Algebraic Geometryの「Woffle」
WeilのBasic Number Theoryの「Coronidis loco」

ってどういう意味ですか？

連投の上にマルチ
無視

>>115
自治厨は黙ってろ

>>115
普通の人は無視してるよね

96ですが回答ありがとうございます
やっぱり同じですよね
supがちゃんと定まるかという問題はYの距離dをmin{1,d}に取り直して有界にしてから
扱う感じで本では書いてるのでそこは取り直す必要があるのはそのとおりですね

「用いれば巡回論法になる」
と
「用いなければならぬので巡回論法になる」
は別

>>120

杉浦さんが書いているのは、

「用いなければならぬので」

ではありません。

「用いなければならぬのでは」

です。

つまり「用いなければならないとすれば」の意味です。

結論として、黒木玄さんの日本語の読解力の問題だと考えます。

他人が文章を誤読したかどうかが、数学と何の関係がある？
自分が解析学を理解できていればそれでいいだろう

黒木さんはあのページを読んだときに、

「別にべき級数を使って定義しなくても厳密に定義できるのに」

と心の中で思ったのだと思います。

欠陥を発見したと思って喜んで

>>116

のような投稿をしたのだと推測します。

杉浦さんはべき級数を使わなくては厳密に三角関数を定義できないとは言っていないにもかかわらずです。

>>123
それよね

>>124
慮ってないで本人に聞いたら？

人の読解力に難癖つける文章で意味合いが変わってしまうような不正確な引用するとか神経疑う

>>119
それは後出しに、問題は正確に書いてね

雑魚は否定形で考える、プロは肯定形で考える、これマメな

ところで、

積分で定義した円弧の長さを計算するときに、(*)を用いたいという状況に普通なるものなんですか？

杉浦さんはそのあたりの細かい説明は全くしていないわけですが。

asin(x) = ∫[0,x]1/√(1-t^2)dt
の計算で　t=sin(u) を使って dt=cos(u)du と行くなら循環論法になるかもしれないがいくらでも回避できる

別に証明じゃ無いんだから
循環論法上等でしょ
計算結果を得るだけなら

【ネット数学界の王】黒木玄【東北大学】
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1688191961/241

マルチじゃん

>>134
この投稿がマルチというお笑い
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1688191961/242

↓みたいにやっていけば、「円弧の長さを例えば積分で定義したとしても, その積分を計算するのに(*)を用いな」くてもいいですよね。

t ∈ [-1, 1] に対して、

l(t) := ∫_{x}^{1} 1 / √(1 - t^2) dt

と定義する。右辺は広義積分である。

π := l(-1) で定義する。

l : [-1, 1] → [0, π] は単調減少関数であるから逆関数が存在する。

cos(x) := l^{-1}(x) for x ∈ [0, π] で定義する。
sin(x) = √(1 - cos^2(x)) for x ∈ [0, π] で定義する。

d/dx l^{-1}(x) = 1 / [d/dt l(t)] = 1 / [- 1 / √(1 - t^2)] = -√(1 - t^2) = -sin(x)

>>136

はMichael Spivak著『Calculus Fourth Edition』での厳密な三角関数の定義を真似して定義しました。

Spivakさんは円弧の長さではなく扇形の面積を使って三角関数を定義しています。

>>136

をこれ以降どうすればいいかはSpivakさんの本に書いてあります。

Spivakさんが円弧の長さではなく扇形の面積を使ったのは、

曲線の長さを使った場合、曲線の長さが ∫_{a}^{b} √(1 + (f'(x))^2) dx となる（と定義される）という事実を使う必要がありひと手間余計にかかるからだと思います。
扇形の面積ならば、「面積が積分で表される」という積分を使う上で絶対に避けて通れない説明は既に本文でしてあるので手間がかからないためだと思います。

実際にはSpivakさんは演習問題の中で曲線の長さについても導かせていますが。

で、いくら杉浦光夫さんでも

>>136

くらいの定義は思いつくと思います。

ですので、杉浦光夫さんはやはり「その積分を計算するのにd/dx sin(x) = cos(x)という結果を用いたくなるが、そうすると循環論法になってしまう」という当たり前のことを言っているだけだと結論できると思います。

ですので、黒木玄さんの指摘は的外れだと感が増す。

>>139

訂正します：

で、いくら杉浦光夫さんでも

>>136

くらいの定義は思いつくと思います。

ですので、杉浦光夫さんはやはり「その積分を計算するのにd/dx sin(x) = cos(x)という結果を用いたくなるが、そうすると循環論法になってしまう」という当たり前のことを言っているだけだと結論できると思います。

ですので、黒木玄さんの指摘は的外れだと考えます。

一方で、『解析入門I』の読者の中に「べき級数を使わないと三角関数は厳密に定義できないのか」と勝手に思い込む人もまれにはいるのではないかと思います。

そうは言っても、p.175の記述が「影響力」を持ったなど一度としてないと思います。

>>141

訂正します：

一方で、『解析入門I』の読者の中に「べき級数を使わないと三角関数は厳密に定義できないのか」と勝手に思い込む人もまれにはいるのではないかと思います。

そうは言っても、p.175の記述が「影響力」を持ったことなど一度としてないと思います。

杉浦光夫さんは「まえがき」に以下のように書いています。

「
三角函数や指数函数はよく知られているが、その解析的性質を系統的に明快な形で導くには、函数の適当な解析的表示を用いることが必要である。本書では、指数函数 e^x と cos(x), sin(x) の整級数による表示を出発点とした。これが最も分り易いと考えたからである。
」

別にべき級数を使った方法が唯一無二の方法だなどとは少しも思っていないということはこの文章から明らかです。

高校式の素朴な定義は厳密でないからそのやり方はしたくなかった。
厳密な定義の中で一番シンプルなのはべき級数による定義であるからそれで定義した。

という単純な話だと考えます。

cos(x) := l^{-1}(x) for x ∈ [0, π] も一つの「解析的表示」であるわけです。

>>145

のようなものも選択肢としてあるけれどもも分り易いと考えるべき級数による表示を採用した

というだけのことだと思います。

>>146

訂正します：

>>145

のようなものも選択肢としてはあるけれども、最も分り易いと考えるべき級数による表示を採用した

というだけのことだと思います。

やっぱり馬鹿アスペ

学部3年次の数学の重要性
33 ：１３２人目の素数さん[]：2024/04/19(金) 16:13:07.36 ID:GNt+VXOo
日本の大学の数学科の学生は、海外の大学の数学科の学生に大学在学中に大きく差をつけられてしまうという話があります。
日本の大学の数学科の時間割を見れば、どうしてか明らかですよね。

高卒アスペの思い込み

馬鹿アスペの不思議
・日本語の本が読めないくせに英語の本を読める
・働いていないのにたくさん本が買える
・10年微積分、線型代数をやってる
・碌な根拠がないのに思い込みで書き込む

・プ板ではお前にはプログラムの才能がないと馬鹿にされる
・トポロジーの問題出してはこんなの問題じゃねーと馬鹿にされる
・それでもめげずに微積分の本の荒探して著者をdisる、でも馬鹿にされる

・物理板では高校の教科書に関する質問をして馬鹿にされていた。

知恵おくれなんだろ
かわいそう

いつ見ても他人の書き間違いは鬼の首を取ったような書き込みしかしないね
その一方で自分の書き込みは何度も何度も訂正、他人に厳しく自分に激甘な無能

悔しいのー

アルキメデスの原理について質問です

解析入門で

lim[n→∞] n＝＋∞ とアルキメデスの原理は同値であると書いてありました

lim[n→∞] n＝＋∞
⇔ n→＋∞ ( n→∞ )

ですが意味不明です
この本では ∞ と＋∞ は意味が違うのですか？

lim a[n] = ∞
⇔ ∀A ∃N ∀n>N a[n] > A

lim n=無限　と　アルキメデスの原理　の正確な論理式を書いてみ

>>157
>この本では ∞ と＋∞ は意味が違うのですか？
違うかも
Nで無限大とRで無限大
自分も区別してる

ま
アルキメデスの原理があるから同一視できるけどね

>>160
なるほど自然数の中での話と実数の中での話ですか
よく分かりました

有限体に非自明な位相を入れて位相体にすることは可能ですか？

笠原晧司著『対話・微分積分学』

広義積分のところで、有界な関数は、有界閉集合上で積分ができると暗に仮定しています。

全くのデタラメですよね。

被積分関数を連続としても、積分を考える有界閉集合の境界が異常な集合である場合、積分は存在しませんよね。

>>163
自明な位相って？密着とか離散とか？

>>163
任意の体 K に対して、離散位相を入れれば位相体になる。

代数で与えられた環と同型なものを有限体の直積で表せみたいな問題ってどう解けばいいんですか？
・準同型定理以外の解法があるのか
・準同型の場合写像はどう見つけるのか
を主に教えてほしいです

>>167
具体的に書いて

具体的に書くとレポート問題の出所が割れるので書く気は毛頭ありません

丸投げみたいな

解答にデパートの商品券を添付する

>>163,167
同じ人物だろ、好きにやってくれ

3辺の長さ a,b,c を与えられた三角形の面積 S を考えます
例えば
a=16, b=17, c=17, S=120 (∵ ヘロンの公式 とか)
a=16, b=25, c=39, S=120 . . .
ここで湧いた疑問
3辺と面積が全て整数値になる三角形についての法則だか公式なんてのはありますか？

直角三角形に限定しても非常に深い問題になる
「合同数　保型形式」で検索

ありがとうございます
今の知識だけだとかなり厳しいですが、いつか理解できるようにがんばります

ヘロンの三角形
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2

>>164
おっさん頭大丈夫か、読み物にケチつけてｗｗｗ

>>165-166
もちろん非自明な位相とは密着でも離散でもないものです

>>172
167は別の人です

>>164
読んだか？
数学解析　溝畑

よろしくお願いします。

X≠∅かつf:X→Yが単射⇒fに左逆写像が存在する

の一般的な教科書の証明では、空でないXから適当なa∈Xを１つ選んで逆写像を構成していますが、この空でないXからaを１つ選んで行われる証明は、全体としては論理式Ψ:=(x∈X)として、∃xΨとΨ[a/x]からの帰結に対して∃除去を行っていると考えて良いですか？

いい

fのR(f)上の逆が存在

>>179

溝畑さんの本はどこがいいのかさっぱり分かりません。


笠原晧司著『対話・微分積分学』

収束級数に 「0 を挿入しても和が変わらないことは自明ではない。」などと書いています。
自明ですよね。

>>183
馬鹿には分からんよ

溝畑茂著『数学解析下』に、確か微分形式が登場しますが、厳密に定義したりしてませんよね。
あまり本質的なことではないかもしれませんが、変数の数も確か 2 かせいぜい 3 で説明していたと思います。

変数の数が 2 と言えば、斎藤毅著『微積分』がそうですね。

この本ですが、内容を絞って、その範囲で厳密に（三角関数の定義のところで初等幾何学の定理を使っていますが）説明するという本だと思います。

そういう本って需要があるんですかね？

どうせ難しめの本なのだから内容をもっと豊富にしたほうが良かったと思います。

>>186
お前が数学に寄与できるのは本を買うことだけだｗ

>>180
>一般的な教科書の証明では、空でないXから適当なa∈Xを１つ選んで逆写像を構成していますが
そうなの？g:f(X)→Xが自然に作れるというだけでは？
g:Y\f(X)→{a}のこと？

>>188
左逆というだけでは言葉が足りませんでした、すみません。
g:Y/f(X)→{a}の方の構成のほうです。

f(X)→Xのほうは冪集合公理と内包公理など、もちろん置換公理でも作れることは分かるのですが、g:Y/f(X)→{a}のほうのa∈Xを非構成的に一つ選ぶってどの公理を使ってるんだ？って分からなくなってしまって。

いわゆる∃除去なのかなと思いました。

他の方もコメントありがとうございます。

t∈X ⇒ G = { <y,x> | <x,y>∈F ∨ ∀x <x,y>∉F,x= t }⇒ GF = id_X

>>190
t∈Xをどうやって導くか悩みました
∃x(x∈X)→t∈X
とは言えないと思ったので

X≠Φ → ∃t t∈X
+
∃除去

>>183
無限和に結合律が成り立たん例があるんだから自明なわけねーだろ

高校数学の理解が十分じゃない状態で
大学レベルの集合の勉強ってできますか？
高校の範囲全部やるのきついです

>>193

0 を有限個挿入しても、途中で

s_i = s_{i+1} = … = s_{i+j}

みたいになるだけで、極限が変わらないことは自明です。

吐処姦双性器に更新がちょい来てる

>>194
出来るかどうかで言えば出来る
そもそも日本の高校数学は数学の必要条件ではない、大学の定員数に振り分けるための篩(ふるい)でしかなく、解ける必要はないし有名大学に入る必要もない

まあ、あなたの周りにこんなことを言う人はいないかもしれない
大抵は「こんな簡単な高校数学も出来ないのに」とか言ってきて、あなたは俺よりその周りを信用して諦めるかもしれないな
そういう人の方が圧倒的に多いから、結果として日本の数学者の大半は、高校数学の理解が十分な人しか残らない

俺自身は数論だけど、やってみて分かったことは、入試の整数問題とか関係ないということ(出来るのが悪いというわけでもない)
やって実際に使わないのが分かったし、海外の学部レベルのノートなんか見てると、組み合わせ(2C1みたいなの)から丁寧に説明してたりする
だから集合でもなんでも同じだろう
惜しむらくは、それを知らない人のほうが圧倒的に多いことだが

>>194
再学習なら大学の数学からやったほうが効率がいい。ただ、計算練習はやっといた方が理解は早まるかもしれないという程度。

別に再学習であってもなくても効率は良い
問題は再学習でない場合、大学数学だけをやると何故か不利な立場に立つことになるということだが

>>200
理由は？
>不利な立場に立つこと

>>201
当然ながらp進数が射影的極限で定義されることを学んでも入試には出ないので、必然的に有名大学へ入るのは難しくなる
そうなると、上に書いたように周りに色々言われるだろうことは想像に難くない
それとも俺が知らないだけで、結構応援したりしてくれるのだろうか？

大学レベルの数学の本を読めるならば大学入試の問題などすべて簡単ではないでしょうか？

>>203
それはとんでもない誤解。
数学者が計算間違いをよくすることは有名。

例えば、大学入試の整数の問題ってぱっと見ただけで、解答が思いつくことが多くないですか？

>>194
大学レベルの集合の勉強であれば、
高校数学が苦手な状態で文系に進んでから
その学習をした人の前例がある
論理的に考えることが出来れば、
高校数学の理解が十分じゃない状態でも
大学レベルの集合の学習は出来る

あ、大学レベルの集合の勉強をしたいという話なんですね。
だったら、高校の教科書の集合の説明のところだけ読んで、大学レベルの集合の本を読み始めればいいですよね。
でも、集合の本だけ勉強する意味ってあるんですか？

整数論でも、昔の数学者だけどエルンスト・クンマーは九九がすぐに計算できなかった
それでも今や基本中の基本であるイデアルを生み出した
今の日本の環境にいたらどうなってただろう

入門的な集合の話ってほぼ当たり前の話しかないですよね。
だから全く面白くないですよね。
ただ、集合とか写像とかの用語を使って、数学の本は書かれているので、そのために勉強するというだけのことですよね。
一方、ちゃんとした集合の本を読もうとするとすごく基礎的なことから勉強しなければならなくて難しいですよね。

>>207
集合の本を読んで簡単な論理記号の使い方や数理論理の基本を知ってから
他の勉強した方が集合の記号を使って簡単に書くことが出来たり
微積分や線形代数と群論や環、体の学習を並行して進めることが出来る
など色々メリットがあっていい

>>209
Zornの補題が当たり前だと思えることと
それと選択公理や整列可能性定理が同値であることの理解は別だと思う
集合の言葉を使うと
いろんな場面でZornの補題を使うことになるということさえ理解できれば
当面は十分だと思う

>>202
アホか

>>194
高校の範囲全部なんてちょろいものがきついなら大学の数学はおすすめしないぞ

やりたいんだからいいんじゃね

別に高校の数学知らなくても、岩波あたりの気になる専門書一冊手にとってよめば良いよ。
分量的には高校の教科書読む方が楽勝だよ

それに目的は大事、漫然とやってると挫折するぞ

>>213
こういうことね
日本の高校数学は難しく、出来なくても大学数学が出来ないなんてことはないというのが真実だが、事実は常に知られているわけではない
こういう反することを言い出す人間は現れるし、そちらが多数になってしまうこともある
そして言われる側も知らなければ、こういう意見を言われる度に無視し続けるというのは難しい
いずれは「皆が高校数学もできないなら無理だって言うならそうなんだ」となるだろうな

頓珍漢

>>217
高校数学の何処が難しいんだよwww
別に高校の数学飛ばして数学書よむのは全く問題ないぞ、好きにすれば？

大学とかわざわざ限定してるあたり、大学いくこと念頭にあるんだろ
大学の講義は高校でやる程度の計算技術と知識は前提で組み立てられてるってだけだよ

出来るかどうかはやってみれば分かるんだから、自分で専門書読みたいならこんなとこで聞かずに読めばいいじゃん
それすら出来ない奴におすすめしないってだけだよwww

>>204
九九も半分しか覚えてないしな

>>219
見てきてもらったように、アメリカの標準試験は、数学に限ってみれば日本よりかなり簡単だ。
https://web.quizknock.com/nihon-amerika-suugaku-nyushi#anchor04

>>217
>日本の高校数学は難しく
高校数学は簡単だけど
入試問題が難しいってことでは

>>221
アメリカなら入学してからprecalculus学ぶだろ。中学高校数学みたいなもんだよ
それが難しいなら、calculusすら進めないぞ

>>221
大学に入ってから試験試験で振り落とされるよ、馬鹿目

数学を勉強しても論理的思考能力は養われないｗ

>>223,224
恐らく大学入試は通れても大学で落とすはずだ、だから結局は同じ能力が求められるはずだ、と言いたいのだろうが、
実はアメリカの卒業難易度は日本と大差がない

日米の「平均的な」大学生の勉強時間は大差がないことが分かる。
https://gendai.media/articles/-/63819?page=2

つまり、日本でもよっぽど勉強しない学生と見做される人が、日本ではお情けで卒業出来るかアメリカでは卒業出来ないかの違いでしかない

アメリカの数学の入試は簡単、アメリカの大学の数学は日本の学生と同程度頑張ればいい、、しかも大学は単位が足りればよいので苦手な科目はやらなくて良い、
となるとやはり日本の高校数学は求められ過ぎている

>>226
制度の違いだろ、馬鹿

論理的思考能力無しｗ

>>226
遊園地に行くのには過剰な要求であるｗ
>日本の高校数学は求められ過ぎている

>>226
何が事実、何が結論、何を言いたいのかさっぱりわからん、国語勉強しろよｗ

小学校でも日米だと大分日本の方が内容が進んでるからな
じゃあどこで追いつくんだというと、多分大学の４年間で？

>>231
これよくある推論だよな
でも実際は、そもそも日本の受験数学は関係なく、大学入学時点では知識の面など日本が進んでるように見えるが、実はすでに劣ってる可能性が否定できない

>>232
そうだなぁ、気になるからアメリカの高校数学の内容とか調べてみようか

大学院だよボケ

直接レスくださった方ありがとうございます
参考になりました
分からなくなったら高校数学に戻ることにして
大学数学の本読んでみます

>>235
どういう分野をやりたいの？、代数、幾何、解析とか

>>236
哲学や論理学に興味があるんですけど
集合は数学の基礎だと聞いたので
教養としても抑えておきたいなと思ったんです

3年生以降で学ぶ数学については
ほとんどイメージができないですね
強いて言えば解析学かもしれません

>>237
そういうことなら哲学や論理学をやったほうがいいと思う、教養は教養にすぎない

>>238
それはそうなんですけど
数学を避けてきたので勉強したいんですよね
一応高校数学の市販の教科書読んだり
Youtubeにある講義見たりもしてるんですが
受験数学的な勉強はきついというか
飽きるというか

>>239
やってみたら、集合、位相の抽象的な話に向いているかもしれない

>>240
そうですね
興味が出たら他の分野にも手を出してみます

>>223
>アメリカなら入学してからprecalculus学ぶだろ
それをやる必要があるやつだけな
ふつうはcalculusから

>>225
それはない

>>226
>日本ではお情けで卒業出来るかアメリカでは卒業出来ないか
日本の成績評価はインチキ
3割は最低でも落とすべき

>>239
高校数学は受験数学じゃねぇよ。
高校数学なんて教科書程度抑えとけばいいんだよ。楽勝だろ。
なんか高校数学ごときが過大な要求とか思ってる奴もいるが。

>>243
それはないｗ

学部レベル数学がないな
教育に関しては別のスレでやってよ

このスレのレス見てればわかるだろうに

>>163
これ分かる人いれば、お願いします

1点が開集合だったら離散位相になるだろ

0を含む最小の開集合全体の共通部分Uは0を含む最小の開集合
Uが全体なら自明位相
そうでないならa∉UがとれるがこのときU=∩[x≠0]xU={0}より離散位相

>>251
すみません
U=∩[x≠0]xU={0}が分かりませんでした
aが取れることとどう関係してますか？

そんなこともわからずに質問してたのか

x≠0のときx^(-1)×は連続全単射なので、それによるUの逆像xUは0を含む開集合
よってU⊂∩[x≠0]xUである
までは分かりました…

位相体って何が面白いの、位相群ならよく見るけど

任意のb≠0に対し
a∉Uよりb=ba^(-1)a∉ba^(-1)U

>>255
実数体とかp身体とか俺関係ねーや
人アッチいって

>>257
厭だね、質問はみんなで楽しもーぜ

身体検査されたら困る人なのか、怪しいなｗ

>>255
Rに位相があることで何ができるか

R^nに位相が入る
多様体が構成できる
その上で解析ができる

一般の完備な位相体上で良い解析学が展開できるかどうかは難しいらしい

それは普通だろ

>>256
なるほど！理解できました

>>255
位相体というより元々の疑問は非自明な位相の有限線型空間の存在でした

位相群なら、一様空間、リー群とか歴史があるけど、位相体にするとp進体の解析、代数幾何で役に立つとか（適当）
というような理由があるのかなと思って聞いたのだが

>>262
nice misleading!

今回解決してもらったので良かったけど
やたら煽りを入れてくる人は何なんだ…

>>265
数学板も人が減ってそういう常連だけが残ってる

あげ

質問者の自由、解答者の自由、頭の緩い奴は質問者に甘い　ある常連解答者

エッヘン

同じ質問に見えるか？
1.有限体に非自明な位相を入れて位相体にすることは可能ですか？
2.有限次元線型空間に非自明な位相を入れて位相体にすることは可能ですか？

>>270
dim_RC=2<∞

有限次元ではなく有限ね

2.は明らかにないということか
これは？
>非自明な位相の有限線型空間の存在でした

体の問題と捉えるとこういう世界
有限体と局所体

>>273
ユークリッド空間に同型だから自明しかない

リーマン面R上の有理型関数体のすべての体自己同型が等角的であるための
必要十分条件は、Rが木開リーマン面となることである。

質問は明確に

パワーポイントに数式入力すんの苦痛じゃね？
しかも見てくれ悪すぎるし
あちこち異常な挙動を示すよな

Gは位相群
Gは連結
G＼{e}は連結成分が2つ

このようなGはRだけか？

topological groupにおいて、normal subgroupはclosedとは限らない？

Q⊂Rとか

私大理学部数学科２年生です。国公立や早慶レベルの理学部数学科卒の人にとって学部レベル数学は教えることは
そこまで苦労せずにできますか。教えてくれる人を探していて参考にお願いします。

>>282
関数解析も群環体論も位相幾何も数理論理学も3年までにまあ一通りやるだろうから教えてもらえるんじゃね？
ていうか3年から専門分野が決まり始めるから
数学科卒でも分野違えば知識は

>>282
知識がそんなになくても
数学への畏敬の念を持っている人は多いが
アドヴァイスを受けるなら
そういう人の中でも一流の講義に触れたことのある人が
望ましいだろう。

>>282
学部レベルの数学なら動画や本を見つつChatGPTに教えてもらったほうが良いと思う
学部卒より信頼できる
って言っても多分聞いてもらえない未来が見える

>>283
教えて頂き、ありがとうございます
>>284
数学科の大学院に行っている人のほうがよりふさわしいですか
>>285
ChatGPTの答えは合っていますか。
「多分聞いてもらえない未来が見える」とは対応できなくなるってことですか？

>>286
「多分聞いてもらえない未来が見える」

「あんたはアドバイスを素直に聞き入れないだろう」という意味。

>>286
GPT4Turboはかなりの制度で学部2,3年の数学は丁寧に正しく答えてくる
そのレベルなら学習データがたくさんあるからな
GPTの説明が正しいかどうか自分の理解で考えてみる、というのも自分である程度頭を使うキッカケにもなる
後半に関しては287の言う通り
俺の経験上「それ◯◯(最新の技術)使えばいいじゃん」ってアドバイスは「その方法は常識じゃない、他の人は言ってない」という理由で残念ながら受け入れてもらえないことが多いからな

gpt-4 turbo は今は無料でも利用できますか

>>286
大学院だけで教えている超一流の
数学者というのは
世界的にもごくごく少数

一定のレベルまでは
人間に教えてもらった方がよい

>>285
>ChatGPTに教えてもらったほうが良いと思う
いやどす

>>286
>数学科の大学院に行っている人のほうがよりふさわしいですか
どんどん専門バカになっていくけど

>>293
専門バカでなければただのバカである

>>289
探せばあるかもしれんが、普通に使おうと思ったら月3,000円くらい
うーんでも、数学でお金取ってるチューターとかに払うよりは安上がりじゃない？しかも数学以外でも有能だし
だからこそ、GPTをsageる人も現れるかもな

>>282
素人の爺さんにただで教えてやるというエロい人がいたがその爺さんはエロい人を怒らせたらしい

数学のことで本当に困っています
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1706516032/139

この人が教えてくれるかはどうかは分からないが

>>295
GPT今の所ウィキペディアレベルで役に立つ程度かな
GPT3.5だと
>>280
>はい、正規部分群が閉じているとは限りません。一般的に、位相群において正規部分群が閉じていることは必要条件ではありません。
>
>例えば、実数の加法群 (R,+)(R,+) を考えてみましょう。この群はトポロジーを持ち、通常の位相を持ちます。しかし、その任意の正規部分群は閉じているとは限りません。例えば、QQ（有理数の集合）は RR の加法群における正規部分群ですが、QQ は RR の位相において閉じていません。
>
>つまり、正規部分群が閉じているかどうかは、特定の位相群やその正規部分群の性質に依存します。
であるが
>>279
>与えられた条件を満たす位相群 GG が、実数 RR に限定されるわけではありません。しかし、GG が RR である必要があるというわけでもありません。
>
>例えば、位相群 GG として、単位円周 S1S1 を考えることができます。S1S1 は実数の位相で連結であり、S1∖{e}S1∖{e} は二つの連結成分を持ちます（ee はS1S1 の恒等元）。これは与えられた条件を満たす RR の部分集合ではありませんが、それでも条件を満たします。
>
>従って、与えられた条件を満たす位相群は RR だけでなく、その他の位相群も存在します。
であるね

GPT4-turoだとどう？> ID:PGkzLd9w

>>298
俺がサム・アルトマンの手先で押し売りしてるみたいになるが、GPT3.5と4Turboじゃ格段に違う
無料で体験とかできたら良いんだけどな

>>298
なんの役にも立たんなコレ

正しいかどうか分かればchatgptも使えるけど、その判断が付かない人には無理

>>300
格段に違うって分かってんなら>>279の質問してみてよ
あるいは
>>288
ホントかそれ？
chatGPTカーゴカルトじゃ無いってなら>>279に答えてもらってよ

chat gpt 4は２０ドル払うと使えるようになりますが、それでapiなど入れたら、chat gpt4-turboも使えるようになりますか

>>304
GPT Plusで普通に使えると思う
GPTに「あなたのカットオフ日は？」と聞いて2023年12月と返ってきたら4Turbo

4坪
>与えられた情報から、位相群かつ連結であり、かつ単位元eを持つ集合からなる商空間の連結成分が2つであるようなグループについて考えていますね。
>
>一般に、位相群はハウスドルフ空間であると仮定すると、連結成分は連結成分定理により開集合として特徴づけられます。つまり、集合が連結であるとは、その集合が開かつ閉であることを意味します。
>
>また、単位元eを持つ集合の商空間の連結成分が2つであるということは、単位元eを含まない開かつ閉な部分集合が2つ存在することを意味します。これは、ハウスドルフ性を担保する位相群においては不可能であることが知られています。
>
>よって、問題の条件を満たす位相群は存在しないことがわかります。
だめだこりゃ

その年月にはなりません。お金を払ったのにまた4.0を使うにはplusを払って下さいと表示されます。何回も払いたくないのに。

>>307
GPTplusは月額だぞ？何で払い直しになるんだ？
当たり前だけど俺は困ったことがあってもサポートしたりはできない
その感じだと、お金を払う前に慎重に調べて、周りの先生などを頼った方が良いと思うぞ
そもそもGPTの使い方を教えるべきなんだろうけどね、大学の教員が

もしかしたら、GPTにサインインして使っただけ？
その場合は無料、ただ3.5しか使えない

いずれにせよ、基礎知識がないように見える
下手にいじる前に、まず周りの先生などにGPTの使い方やどんな感じかを聞いたほうがいい

もうほぼ荒らしだろこれ

誰だchatgptを勧めた奴は？

好事家くえせーな

chatgptの能力の話は大学数学の範疇外だから
別の適当なスレでやってな

板の住人が知らない2ch用語
・スレチ
・イタチ
・荒らしはスルー

もう一度決済などを確認して、gpt4は使えるようになりました。お世話になりました。turboはまだですが。

>>315
不思議だな
GPT4は今や精度は高いが、学部の演習とかで出てこないようやマイナーな問題ほど、学習元のデータがないから苦手なのと、
カリキュラムを整えて一から教えてくれたりもしない、本や動画を読んで分からない所を聞くというのはその為
ネットの意見だけじゃなく、周りの先生にアドバイスも貰いながら数学の勉強に活かしてくれ

あと、ついでだけどもしもう決済しちゃったんなら、契約解除する前に履歴書とかも作ってもらうのも良いかもな
GPTは数学だけじゃないし

>>282
目的を聞かなかったが、いい成績で単位が取れて卒業できればいいとういうことだよな、研究者を目指したいということじゃないよな

研究者は目指してません。支払いを行えばカットオフ日が2023年12月だったのでturboが使えてました。

だいたい学部レベル数学を人に教えてもらおうとか
何やるにせよ意識低すぎ

それは大学教育の否定ではないのかw

・昔
授業に出ていい成績をとるのが普通の学生
授業に出ないでいい成績をとるのが本当に優秀な学生

今
・授業がわからないとアンケートに書かれて先生の評価が下がる。
・授業について来れない学生には補習をする
・学生が大学に来るように朝食で釣る

もっと少子化が進むとさらに変化するだろう

>>321
ちゃんと進歩してるな

どんな変化が進歩かは後になってからでないと分からない

>>324
俺は分かる
君は分からない
ということだな

今そうだからと言って
10年後にそれが正しかったかことになるかどうかは
今は誰にも分らない
数学と違って

学生の劣化が激しすぎるな
生徒か

FAXをデジタル化した会社に「でも10年後には正しくないかもしれない、FAXは復活するかもしれない」と思うのは勝手だが、
そういう会社は成長できない
論破芸は何も生まない

カーマイケル数で有名な人の初等？数論の教科書(※ R.D.Carmichael, The Theory of Numbers )を少し読んでみようとしたら
初っ端(p.3)からコレ↓で挫けそうです

Excercises
3. Discover and establish the law suggested
by the equations 1² = 0 + 1, 2² = 1 + 3, 3² = 3 + 6, 4² = 6 + 10, . . . ;
by the equations 1 = 1³, 3 + 5 = 2³, 7 + 9 + 11 = 3³, 13 + 15 + 17 + 19 = 4³, . . .

式をヒントに何らかの法則見つけてください

※著作権切れなので https://www.gutenberg.org/files/13693/13693-pdf.pdf で全部見れます

朝食で釣るって何？
誰が金払う？何が食える？その大学、その教官個別の事例やろ？

>FAXをデジタル化した会社に「でも10年後には正しくないかもしれない、FAXは復活するか>もしれない」と思うのは勝手だが、
>そういう会社は成長できない
>論破芸は何も生まない

もちろんそう思うのも勝手

秋の「学生応援 100円朝食」はじまります
https://www.tohoku.ac.jp/japanese/2023/10/news20231006-100yen.html

鳥取大学での事例です。学長先生から「1限目に学生が出てこないので、出てこさせるために、生協食堂で朝食を無料で提供する。4月の1ヶ月だけ大学が費用の半分を出すから生協も半額持ってもらえないか」と言われて、学長先生がおっしゃるなら、ということで、協力し実施をしました。
https://www.univcoop.or.jp/service/food/seminar/seminar03.html

複素平面上の曲線 z(t) が [a, b] 上で滑らかであることの定義ですが、

z が微分可能で、 z' が連続であることとはせず、

z が微分可能で、 z' が連続かつ z'(t) ≠ 0 for all t ∈ [a, b] であることとするのはなぜですか？

初等線形代数で申し訳ないですが，直交行列は，回転変換する行列もしくは軸対称変換する行列のどちらかですか？

両方です

>>335
回転変換と軸対称変換を両方する行列を例示してください。

あん？
なんやと？

>>333
322が関数論の先生なので答えてくれるでしょう、待ってってね

>>329
それっぽい漸化式を書けばいいだけちゃうの？

>>333

z が微分可能で、 z' が連続であるとき、z がある点で突然、90度方向転換したりする可能性があることは知っています。

z が微分可能で、 z' が連続であるとき、 z が滑らかと定義すると滑らかじゃないのに滑らかとなってしまいおかしいですが、知りたいことは、滑らかな曲線 z と仮定されているところを、z は微分可能で、 z' が連続であるに置き換えたときに、問題が発生するかということです。

例えば、 z が滑らかではなくても、 z が微分可能で、 z' が連続でありさえすれば、複素線積分は定義できます。

>>340
意味不明だな

>>342

複素関数論の本に書いてある定理の仮定で、「z(t) は滑らか」となっているところをすべて、「z は微分可能で、 z' は連続」で置き換えても、何も問題は起きないかどうかという質問です。

>>343
微分可能、滑らかの定義を書けよ

はめ込みまで要求してるんやろ

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%81%AF%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF

ベクトル空間R^2上の変換fで、
加法性f(a+b)=f(a)+f(b)は成り立つがスカラー倍f(ka)=kf(a)は必ずしも成り立たない
ような例はどんなものがありますか。

ハメル基底で検索

選択公理を認めれば

〜が成り立たない例がありますか？

(x × y) × z = <x, z> * y - <y, z> * x

が成り立ちます。

(x × y) × z が x と y が張る平面上にあるということをうまく証明してください。（成分計算などせずに。）

何様

>>350
成り立ってんだから証明する必要も無いのでは？

>>352

(x × y) × z = <x, z> * y - <y, z> * x

を成分計算して成り立つことを確かめたが、そうせずに (x × y) × z が x と y が張る平面上にあるということを証明したいという状況です。

>>350
普通こういう質問だろ
これを成分計算をせずに証明するにはどうしたらいいですか？

思いつきました。

x と y がともに x-y 平面に載るように座標軸を取ります。
x × y は z 軸と平行である。
(x × y) × z は x × y と直交するので、 z 軸と直交する。
よって、 (x × y) × z は x-y 平面に載っている。
よって、 (x × y) × z は x と y の一次結合でかける。

つまんねーやつ、チコチャン

常連の答え
x・(xxy)=0

手抜き
基底を取ればほぼ明らか

物理屋の答え
エディントンのイプシロンを使う

(x × y) × z = <x, z> * y - <y, z> * x

の最も分かりやすい証明を考えました。

(x × y) × z は x × y と直交する。
よって、 (x × y) × z は x および y によって張られる平面に載っている。
よって、 (x × y) × z は x と y の一次結合でかける。
よって、 (x × y) × z = f(z) * x + g(z) * y とかける。
f および g は R^3 から R への写像である。
外積の分配法則などにより、 f および g は線形写像であることがわかる。
(x × y) × e1 = (0, det([[x1, x2], [y1, y2]]), -det([[x3, x1], [y3, y1]])) = -y1 * x + x1 * y
(x × y) × e2 = (-det([[x1, x2], [y1, y2]]), 0, det([[x2, x3], [y2, y3]])) = -y2 * x + x2 * y
(x × y) × e3 = (det([[x3, x1], [y3, y1]]), -det([[x2, x3], [y2, y3]]), 0) = -y3 * x + x3 * y
である。
よって、
(x × y) × z = (x × y) × (z1 * e1) + (x × y) × (z2 * e2) + (x × y) × (z3 * e3)
= z1 * (x × y) × e1 + z2 * (x × y) × e2 + z3 * (x × y) × e3
= z1 * (-y1 * x + x1 * y) + z2 * (-y2 * x + x2 * y) + z3 * (-y3 * x + x3 * y)
= - (z1 * y1 + z2 * y2 + z3 * y3) * x + (z1 * x1 + z2 * x2 + z3 * x3) * y
= -<z, y> * x + <z, x> * y

以下を書き忘れました：

f, g が x, y に依存しないことは明らかである。

あ、

>>360

の一文は不要ですね。

(x × y) × z = <x, z> * y - <y, z> * x

の最も分かりやすい証明を考えました。

(x × y) × z は x × y と直交する。
よって、 (x × y) × z は x および y によって張られる平面に載っている。
よって、 (x × y) × z は x と y の一次結合でかける。
よって、 (x × y) × e1, (x × y) × e2, (x × y) × e3 はどれも x と y の一次結合でかける。
実際に、これらの x, y の係数を求めると、以下のようになる。
(x × y) × e1 = (0, det([[x1, x2], [y1, y2]]), -det([[x3, x1], [y3, y1]])) = -y1 * x + x1 * y
(x × y) × e2 = (-det([[x1, x2], [y1, y2]]), 0, det([[x2, x3], [y2, y3]])) = -y2 * x + x2 * y
(x × y) × e3 = (det([[x3, x1], [y3, y1]]), -det([[x2, x3], [y2, y3]]), 0) = -y3 * x + x3 * y
である。
よって、
(x × y) × z = (x × y) × (z1 * e1) + (x × y) × (z2 * e2) + (x × y) × (z3 * e3)
= z1 * (x × y) × e1 + z2 * (x × y) × e2 + z3 * (x × y) × e3
= z1 * (-y1 * x + x1 * y) + z2 * (-y2 * x + x2 * y) + z3 * (-y3 * x + x3 * y)
= - (z1 * y1 + z2 * y2 + z3 * y3) * x + (z1 * x1 + z2 * x2 + z3 * x3) * y
= -<z, y> * x + <z, x> * y

>>359

f, g とか登場させる意味なかったですね。

>>362

世界で一番分かり易い証明ですね。

>>362

(x × y) × z = <x, z> * y - <y, z> * x

の発見的証明になっていますね。

成分計算を実行して等式を証明するだけでは能が無いですよね。

(x × y) × z はどう表わすことができるのだろうか？と考えたとします。
その人はまず、 (x × y) × z は x, y の一次結合でかけることに気づきます。
次に、では x, y の係数はどう表されるのだろうか？と疑問に思います。
その人は、
(x × y) × z = (x × y) × (z1 * e1) + (x × y) × (z2 * e2) + (x × y) × (z3 * e3)
= z1 * (x × y) × e1 + z2 * (x × y) × e2 + z3 * (x × y) × e3
だから、
(x × y) × e1, (x × y) × e2, (x × y) × e3 が x, y の一次結合としてどう表されるのかがわかれば良いということに気づきます。
そして、これらを実際に計算してみます。（これらが x, y の一次結合で表されることは既に分かっている。）

そして、簡単な計算により、

(x × y) × z = <x, z> * y - <y, z> * x

が成り立つことを発見するのです。

馬鹿アスペが馬鹿であることの証明

>>329

1,3,6,10,15,21…は三角数

2((xy-yx)z - z(xy-yx))

= y(xz+zx) + (xz+zx)y - x(yz+zy) - (yz+zy)x

((xy-yx)z - z(xy-yx))

= y(xz+zx) + (xz+zx)y - x(yz+zy) - (yz+zy)x

-((xy-yx)z - z(xy-yx))

= y(xz+zx) + (xz+zx)y - x(yz+zy) - (yz+zy)x

藤岡敦著『手を動かしてまなぶ曲線と曲面』

f が積分可能なとき、 f の不定積分が微分可能であるかのように書いています。
f が連続でなくてはならないにもかかわらずです。

あと、問題の解答など非常に癖が強いですね。

きちがいの書きこみ禁止

>>372
また馬鹿を晒す馬鹿アスペ

実数の加法群(R,+,0)を位相群にする位相は
離散、密着、通常のもの以外にありますか？

Q のp進位相の完備化とか

それってそもそもRとは違う加法群にならないの？

>>372
シュヴァルツの解析学を読んで感想書いてよ笑

代数としてはRと同じ

なるほど…同型の示し方も教えてほしいです

あと、もしかしてオストロフスキーの定理のように、それ以外の位相がないことも示せたりしますか？

アルキメデス付値に関して完備な任意の体は、（代数的にも位相的にも）実数体か複素数体に同型である

Q_pはアルキメデス的ではないし、付値(もっといえば距離)以外の位相も可能性としてありますよね…？

>>375
加法群としては
R=ΣQ
即ち集合としては
R⊂ΠQ
それぞれのQに別の位相入れて直積位相の部分空間にすれば？

R=Map(N,2)だと群構造表さないよなあ
コンパクトオープンで位相定義するとまた色々できそうだけど

>>383
ああ、たしかに実数の加法群はQの非可算直和なのか…

Qの位相は密着、離散、通常のもの以外にあるんでしょうか？
(次々質問してすみません)

Q_pの加法群も同じようにQの非可算直和と示せるのかなぁ

>>385
>Qの位相は密着、離散、通常のもの以外にあるんでしょうか？
加法を連続にするものが確か色々あったと思う
例えばNだって
O={U|N-U:finite}∪{φ}
が開基になって
これ和や積とコンパチになるよね
（N×Nの開基も有限集合の補集合）
Q=colim(n×:N→N)
もここから位相入れられる

（Ｋが開集合）＜＝＞（Ｋ＝Ｋ＋Ｚ）。

>>386
Qpももちろんベクトル空間としてQの直和

>>385
いいネタだよ

バナッハ空間間の連続線型作用素T:E->Fについて、Tがヒルベルト・シュミット型と双対作用素T'がヒルベルト・シュミット型であることが同値であることが知られています。
双対作用素T'が核型ではあるがT自身は核型ではないような例を教えてください。

>>391
なんでいつもつまらない問題だけ考えてるの？

>>392
つまらないという理由は？

>>392
お前が面白いという問題とはなんだ？

>>387
遅くなりましたがありがとうございます
捕有限位相ってやつですよね
Q=colim(n×:N→N)は余極限？
これは具体的にどういう感じのものなんでしょうか…

>>388
これはQ/Z(or R/Z)の離散位相を射影でQ(or R)に引き戻したって感じですかね
考えてみます

>>389
出来れば証明も教えてほしいです

>>395
2×:N→N:n→2n
3x:N→N:n→3n
・・・
つまり
N⊂(1/2)N⊂(1/6)N⊂(1/24)N⊂・・・⊂∪(1/n!)N=Q
と見るということ
ZじゃないとQじゃないか
まあ負の側にも延ばして
この包含が連続になる最も強い（開集合の多い）位相をQに入れる

>>396
>出来れば証明も教えてほしいです
QpはR同様標数0の体だから

藤岡敦著『手を動かしてまなぶ曲線と曲面』

γ : I → R^n
γ : C^1 級
γ'(t) ≠ 0 for all t ∈ I

を正則曲線という。

γ : I → R^n, λ : J → R^n を2つの正則曲線とし、 {γ(t) : t ∈ I} = {λ(s) : s ∈ J} とする。
このとき、 φ : I → J such that φ は全単射 & φ, φ^{-1} はC^1 級 で、

λ(φ(t)) = γ(t) をみたすようなものが存在する。

このことを証明せずに当然のこととして仮定しています。

あ、というか、上のようなdiffeomorphism φ が存在するとき、 γ と λ は同じ曲線の異なるパラメーター表示であると考えているようです。
そして、パラメーター表示は変わっても同じ曲線を表わすならば、曲線の長さが変わらないことなどを証明しています。

>>399
のような事実を述べないのはありですか?

確か、杉浦光夫さんの本でも、

λ(φ(t)) = γ(t) となるようなdiffeomorphism φ が存在するとき、
γ ≡ λ と定義すると、 ≡ が同値関係になるということを言っていたと思います。

ですが、

>>399
のような事実については触れていません。

このような態度は許されるのでしょうか？

小平邦彦著『複素解析』では、ちゃんと証明しています。

>>400
diffeoが存在する条件の話と同値類を定める話は別のことだろ
そんなことも理解出来ないのかよ

>>402

別の話ですが、 diffeomorphismが存在することを小平邦彦さんのように証明すべきではないでしょうか？

小平邦彦さんのやり方がまともなやり方だと思います。

{γ(t) : t ∈ I} = {λ(s) : s ∈ J}

であるとき、

γ ≡ λ

になるのだろうか？

という疑問は誰でも持つだろうからです。

杉浦さんらの態度は許されるのでしょうか？