↓みたいにやっていけば、「円弧の長さを例えば積分で定義したとしても, その積分を計算するのに(*)を用いな」くてもいいですよね。

t ∈ [-1, 1] に対して、

l(t) := ∫_{x}^{1} 1 / √(1 - t^2) dt

と定義する。右辺は広義積分である。

π := l(-1) で定義する。

l : [-1, 1] → [0, π] は単調減少関数であるから逆関数が存在する。

cos(x) := l^{-1}(x) for x ∈ [0, π] で定義する。
sin(x) = √(1 - cos^2(x)) for x ∈ [0, π] で定義する。

d/dx l^{-1}(x) = 1 / [d/dt l(t)] = 1 / [- 1 / √(1 - t^2)] = -√(1 - t^2) = -sin(x)