不定積分の計算について質問です。

∫ x dx を求めたいとします。

x = sin(t) と置換してこの不定積分を求めます。
t ∈ [-π/2, π/2] で sin(t) は単調増加関数ですので、逆関数が存在します。

被積分関数 x の定義域は I = [-1, 1] で考えます。
問題は、 I 上で x の原始関数を求めよという問題になります。

∫ x dx = ∫ sin(t) * cos(t) dt = ∫ (1/2) * sin(2*t) dt
= -(1/4) * cos(2*t) = -(1/4) * (1 - 2 * sin^2(t))
= (1/2) * x^2 - 1/4

と I 上で不定積分（原始関数）が求まりました。

(1/2) * x^2 - 1/4 は自然に R へ拡張可能です。
この関数を R 上で微分してみると x になります。

I 上での原始関数を求めたのですが、それから容易に R 上での原始関数が求まってしまいました。

不思議なのですが、これはどうしてでしょうか？