簡約リー環が半単純リー環より真に大きい事がなぜなのか分からず詰まっています。
以下の議論のどこが誤りなのか教えてもらえないでしょうか。

簡約リー環の定義は可換リー環gと半単純リー環hの直和でかける事とします。
ただしリー環としての直和g⊕hとはgとhがそれぞれ全空間のイデアルであり
ベクトル空間として直和g⊕hとなっている事とします。(ここまでが読んでいる本での定義です)
このときイデアルの定義から[g,h]⊂g∩h＝0より[g,h]＝0が成り立つ事が言えます。
また逆にベクトル空間の直和g⊕hが[g,h]=0を満たせば，リー環の直和になる事も
[g⊕h,h]＝[g,h]＝0などより言えるので，この2条件は同値です。
この時簡約リー環は半単純である事が以下のように言えるように思えます。
可換リー環gをベクトル空間としての1次元空間の直和g_1⊕…⊕g_nに分解すると
可換性からそれぞれのリー括弧積は[g_i,g_j]=0になります。
またgとhはリー環として直和なのでそれぞれイデアルであり[g,h]＝0が成り立ちます。
よって特に[g_i,h]=0も成り立ち，g_iは他のg_jともhとも可換のためイデアルになります。
これは1次元なので単純リー環でもあるので，gは単純リー環の直和でありゆえにg⊕hも単純リー環の直和であって
つまり半単純になるように思えてしまうのですが，どこの主張が誤りなのでしょうか。