>>181
さて、モジュラー群SL(2, Z) 、PSL(2, Z)
高木「近世数学史談」の§20 初発の楕円函数論に、
ガウスはmodular functionに到達していた
との記載があります

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%BE%A4
モジュラー群(modular group)とは、数論、幾何学、代数学や他の現代の数学の分野における基礎研究対象であり、幾何学的変換群や行列群により表されるものである。
定義
モジュラー群
Γ は、ad − bc = 1 を満たす整数 a, b, c, dによって、
z→ {az+b}/{cz+d}
と表せる複素上半平面の一次分数変換の群である。群演算は写像の合成である。
この変換の群は、特殊射影線型群 PSL(2, Z) に同型である。
PSL(2, Z)は整数上の 2-次元の特殊線型群 SL(2, Z) をその群の中心 {I, −I} で割った商である。
言い換えると、PSL(2, Z) は、 ad − bc = 1 を満たす整数a, b, c, dによって
(𝑎 𝑏)
(𝑐 𝑑)
と表される全ての行列で構成される。
ただし、行列 A と -A は同一視する。群の演算は通常の行列の積である。
モジュラー群を PSL(2, Z) であると定義する著者がいる一方で、より大きな群である SL(2, Z) であると定義する者もいる。
数学的な関係より、+1または-1の行列式をもつ行列の群 GL(2, Z) を考えることを求めることもある。（ SL(2, Z) はこの群の部分群である。）同様に、PGL(2, Z) は商群 GL(2,Z)/{I, −I} である。単位行列式を持つ 2 × 2 行列は、シンプレクティック行列であるので、SL(2, Z) = Sp(2, Z) は 2 × 2 行列のなすシンプレクティック群である。

数論的性質
モジュラー群の元は、2次元の周期格子上の対称性をもたらす。

このため、楕円函数のような二重周期函数（英語版）(doubly periodic function)は、モジュラー群対称性を持つ。

有理数に対するモジュラー群の作用は、格子点 (p, q) が分数 p/q を表している正方格子として可視化すると、最も容易に理解することができる（ユークリッドのオーチャード（英語版）(Euclid's orchard)を参照のこと）。この格子においては、既約分数は原点から見ることのできる点である。分数上のモジュラー群の作用は、見ることのできる点を見ることができない（既約な）点へ変換することは決してないし、逆も成り立つ。