【参考】
ブリュア分解
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%82%A2%E5%88%86%E8%A7%A3

数学におけるブリュア分解（ぶりゅあぶんかい、英: Bruhat decomposition）G = BWB は、
（行列を上半および下半三角行列の積として表す方法としての）
ガウス＝ジョルダン消去法の一般化とみることのできる、群 G の胞体分割である。
ブリュア分解は旗多様体のシューベルト胞体分解に関係がある（ワイル群も参照）。
名称はフランソワ・ブリュアに因む。

より一般に、BN対を持つ任意の群がブリュア分解を持つ。

定義
群 G が代数閉体上の連結簡約代数群であり、
B は G のボレル部分群で、
W を B の極大分裂トーラスに対応する G のワイル群とする。
群 G のブリュア分解とは、ワイル群 W の元で径数付けられる、B の両側剰余類の直和としての
𝐺=𝐵𝑊𝐵=∐(𝑤∈𝑊)　𝐵𝑤𝐵
なる G の分解である
（ここで、W は必ずしも G の部分群となるわけではないが、
それでも剰余類 wB 自体は意味を持つという点に注意）。

例
群 G を代数閉体に成分を持つ n-次正則行列全体の成す一般線型群 GLn とする（これは簡約代数群である）と、
ワイル群 W は（置換行列を代表元として）n 文字の対称群 Sn に同型である。
この場合、ボレル部分群 B として正則上半三角行列全体のなす群をとることができて、
ブリュア分解は任意の正則行列 A が
U1PU2 (U1, U2 ∈ B（上半三角）かつ P は置換行列)
という積の形に分解されるという意味になる。
これを逆に P = U^(−1)1AU^(−1)2 の形に書けば、これは任意の正則行列が行または列の基本変形
（ただし、i > j のとき i-番目の行を別の j-番目の行に加える、i < j のとき i 番目の列を j-番目の列に加えるという操作のみ）
によって置換行列に移るという意味になる。
行基本変形の繰り返しが U^(−1)1 に対応し、列基本変形の繰り返しがU^(−1)2 に対応する。