>>599
>じゃ聞くけど、球関数って何？
>これって量子力学において人間が理解すべきことだよね？

・懐かしいな・・、ラゲールの陪多項式を思い出した
　学部で量子力学を学んだとき、シュレディンガー方程式の解法に、突然（唐突ｗ）に”ラゲールの陪多項式”が出てきて
　大変驚いた記憶がある。付録に”ラゲールの陪多項式”についての簡単な解説があった
（あとから、これ多分クーラント ヒルベルトにあるかもと思った。直接の確認はしてないけどね）
・でもね、いまは球関数の詳しい知識の必要性は落ちている
　理由の一つは、下記のように Mathematicaなどに ほとんど組み込まれていること
　もう一つは、解くべき問題の多くが 球対称でなく 球関数との相性も良くない場合が多いこと
　それに、量子力学の新解法が開発され かつ 数値計算手法の点から 球関数に依存しない汎用解法が一般化していることだ

//ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E9%99%AA%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
ラゲールの陪多項式
量子力学において、球対称ポテンシャルのシュレディンガー方程式（代表的なものは水素原子）の動径方向の解は、ラゲールの陪多項式を用いて表される
//ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E9%96%A2%E6%95%B0
特殊関数の一覧
MATLAB、Maple、Mathematicaなどの科学技術計算・数値解析のための言語は、多くの特殊関数を認識する。ただし、そのようなシステムが常に効率的なアルゴリズムで計算（評価）するとは限らない
//en.wikipedia.org/wiki/Special_functions
Special functions

//kotobank.jp/word/%E7%90%83%E9%96%A2%E6%95%B0-51964
コトバンク
球関数 平凡社 改訂新版 世界大百科事典 執筆者：飛田武幸
数理物理学における微分方程式の解として登場する特殊な関数を総称して特殊関数と呼ぶが，なかでも球関数は簡単な式で表され，かつ種々の解析的な特性をもっている重要な例である。それはもっとも基本的な2階微分作用素であるラプラシアンΔに関係する。3変数x，y，zのときは
Δ=∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2　であり，Δu（x，y，z）＝0となる関数uを調和関数という

いま全空間で考えることとし，x，y，zの多項式でかつ調和関数であるものを系統的にさがし出そう。n次斉次多項式である調和関数をunとかく。このunを極座標x＝rsinθcosφ，y＝rsinθsinφ，z＝rcosθ（r＞0，0≦θ≦π，0≦φ＜2π）を用いて
　un（x，y，z）＝rnYn（θ，φ）
とかいたとき，Ynがn次球関数である。それは球面上の関数とみることができ，各n≧0について2n＋1個の一次独立なn次球関数が存在する
　ルジャンドル多項式Pn（x）（n≧0，｜x｜≦1）も特殊関数の一種で，次の式で定められる

さらに球面上のdσについて2乗可積分な関数f（θ，φ）は，球関数によって
略す
のように直交展開が可能である。これらの事実は，球についてディリクレ問題やノイマン問題の解法に有効な手段となり，また回転群のユニタリ表現を構成するときの基礎概念を与え，量子力学においては中心力場の電子に対するシュレーディンガー方程式の取扱いに現れるなど広い応用がある