つづき

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直交多項式
直交多項式列（orthogonal polynomial sequence）または直交多項式系 (system of orthogonal polynomials) は、多項式の成す族（多項式列）であって、それに属するどの二つの多項式も適当な内積に関して直交するものをいう[1][2][3][4]。
最も広く用いられる直交多項式列は古典直交多項式列（英語版、中国語版）と呼ばれる一群で、エルミート多項式列、ラゲール多項式列、ヤコビ多項式（英語版、ドイツ語版、フランス語版、スペイン語版）列やそれらの特別の場合としてのゲーゲンバウアー多項式列、チェビシェフ多項式列 (チェビシェフ補間（英語版、ロシア語版）やクレンショ―＝カーティス求積（英語版）に使われている)、ルジャンドル多項式列 (ガウス・ルジャンドル公式による求積に使われている[5]) などが含まれる[1][2][3][4]。
直交多項式系に関する分野は、19世紀後半にチェビシェフによる連分数の研究から発展し、マルコフとスティルチェスが続いた

一変数および実測度の場合の定義
実数直線上定義された非減少函数 α が任意に与えられたとき、函数 f の α に関するルベーグ–スティルチェス積分
略す
が定義される[1][2][3][4]。この演算は多項式全体の成すベクトル空間上の半正定値内積であり、α が無限個の増加点を持つならば正定値になる。この内積に関して通常の仕方で直交性が定義できる（つまり二つの多項式が直交するとはそれらの内積が零であることをいう[1][2][3][4]）
このとき多項式列 (Pn)∞
n=0 (deg(Pn) = n) が直交系であるとは、m ≠ n のとき常に関係式
<P_{m},P_{n}> =0
を満たすことを言う[1][2][3][4]。
即ち直交多項式列は単項式列 1, x, x2, … に与えられた内積に関するグラム–シュミットの直交化を施して得られる[5]。

https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_orthogonal_polynomials
In mathematics, the classical orthogonal polynomials are the most widely used orthogonal polynomials: the Hermite polynomials, Laguerre polynomials, Jacobi polynomials (including as a special case the Gegenbauer polynomials, Chebyshev polynomials, and Legendre polynomials[1]).
They have many important applications in such areas as mathematical physics (in particular, the theory of random matrices), approximation theory, numerical analysis, and many others.
(引用終り)
以上