>>689
>>１変数関数f(x)が、三角関数によるフーリエ級数展開可能なのと同じ理屈だよ
>君は質問を取り違えたようだ
>なぜ球関数は直交してるのか？
>ヒント　なぜフーリエ級数の各項の関数は直交してるのか？　と同じ理屈
>答えられるかな

ふっふ、ほっほ >>685 より下記の「直交多項式」再録（百回音読してね！ｗｗ）

例えば、
ｎ次元ベクトル空間において、直交系は任意にとれる
人は、数学をやるのに都合が良い直交系を選ぶことができる
例えば、あるときは地球の中心を原点Oとして、公転平面に垂直にZ軸のベクトルを、公転平面内の地球の進行方向にX軸ベクトル、公転平面内でX軸ベクトルに直交するようにY軸ベクトルを
あるときは太陽の中心を原点Oとして、適当にX、Y、Z軸のベクトルを同様に定めることができる

で、球関数の直交系は 飛田武幸先生の球関数の解説にあるように（>>616ご参照）
ラプラシアン Δ=∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2 を使う偏微分方程式
それは いまは量子力学の原子殻問題ですが、これを解くときに使える道具として
数学者が、球関数の直交系をちゃんと用意してくれていたってことですよ。物理学としては、ありがたいことじゃないですか！！ （＾＾

あなた、なにか混乱していますねｗｗ ；ｐ）
余談ですが、いまは球関数展開など使わなくても、強引に数値計算で解けますよ（原理的には）
（但し、計算リソースをかなり消費するでしょうけどね ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F#%E7%A0%94%E7%A9%B6%E8%80%85%E3%83%BB%E5%B0%82%E9%96%80%E5%AE%B6
直交多項式
直交多項式列（orthogonal polynomial sequence）または直交多項式系 (system of orthogonal polynomials) は、多項式の成す族（多項式列）であって、それに属するどの二つの多項式も適当な内積に関して直交するものをいう[1][2][3][4]。
最も広く用いられる直交多項式列は古典直交多項式列（英語版、中国語版）と呼ばれる一群で、エルミート多項式列、ラゲール多項式列
ルジャンドル多項式列 (ガウス・ルジャンドル公式による求積に使われている[5]) などが含まれる[1][2][3][4]。

一変数および実測度の場合の定義
実数直線上定義された非減少函数 α が任意に与えられたとき、函数 f の α に関するルベーグ–スティルチェス積分
略す
が定義される[1][2][3][4]。この演算は多項式全体の成すベクトル空間上の半正定値内積であり、α が無限個の増加点を持つならば正定値になる。この内積に関して通常の仕方で直交性が定義できる（つまり二つの多項式が直交するとはそれらの内積が零であることをいう[1][2][3][4]）
このとき多項式列 (Pn)∞
n=0 (deg(Pn) = n) が直交系であるとは、m ≠ n のとき常に関係式
<P_{m},P_{n}> =0
を満たすことを言う[1][2][3][4]。
即ち直交多項式列は単項式列 1, x, x2, … に与えられた内積に関するグラム–シュミットの直交化を施して得られる[5]。