下記の大阿久先生のガロア理論講義ノートでは
8 1のn乗根 定理8.1 で、「ガロア群G=Gal(L/K)は(Z/Zn)^xの部分群に同型である．
従ってGはアーベル群であり，位数はϕ(n)の約数である．」
を証明して使っている

つまり、アーベル群は可解であることを既知とすれば
1のn乗根は、冪根で解かれることが示されたことになる
（定理8.1は、ラグランジュの分解式を使わない。そういうやり方もあるってことを知りましょうね ；ｐ）
（ラグランジュの分解式は、この後 P36 定理9.3 で登場します）

(参考)
https://www.lab.twcu.ac.jp/~oaku/index_jp.html
大阿久 俊則 (おおあく としのり)
東京女子大学名誉教授（元数理科学科教授）
専門：代数解析学
講義録（学部）
12.ガロア理論入門
https://www.lab.twcu.ac.jp/~oaku/galois.pdf
ガロア理論入門（体と群と方程式）大阿久俊則
目次
8 1のn乗根

P32
8 1のn乗根
P33
定理8.1
KをCの部分体，Lをx^n-1のK上の分解体とすると，ガロア群G=Gal(L/K)は(Z/Zn)^xの部分群に同型である．
従ってGはアーベル群であり，位数はϕ(n)の約数である．
証明:
命題8.1よりx^n-1のK上の最小分解体Lは1の任意の原始n乗根で生成される．
すなわち，L=(ζ)である．
とすると，σ(ζ)^n=σ(ζ^n)=σ(1)=1 であり，
自然数に対して，σ(ζ)^k=σ(ζ^k)=1 とζ^k=1は同値であるから，
σ(ζ)も1の原始乗根である．
従ってnと互いに素な整数j(σ)∈{1,・・・,n-1}によってσ(ζ)=ζ^j(σ)と表される．
σ,τ∈Gに対して
ζ^j(τσ)=(τσ)(ζ)=(τ(σ(ζ))=τ(ζ^j(σ))=(τ(ζ))^j(σ)= (ζ^j(τ))^j(σ)=ζ^(j(τ)j(σ))
よりj(τσ)=〜j(τ)j(σ) mod n が成立するから，G∋σ→j(σ)¯∈(Z/Zn)^xは群準同型である.
σ(ζ^k)=σ(ζ)^kよりσの定めるUnの置換はσ(ζ)のみから定まる．
さらに，命題6.2によりGの元はUnの置換によって一意的に定まるから，
この準同型G∋σ→j(σ)¯∈(Z/Zn)^xは単射である．
よってGは(Z/Zn)^xの部分群に同型である．
QED