>>851
>0.a_1a_2…a_n＜1/7＜0.a_1a_2…a_n＋(1/10^{n＋1})
>となる正の整数nと数字 a_n が無限個存在するとする
>高々有限個しか存在しないんか？
0.a_1a_2…a_n…＜1/7＜0.a_1a_2…a_n…＋(1/10^{n＋1})
となる正の整数nと数字 a_n が無限個存在したとする
10進表示された実数aを a＝0.a_1a_2…a_n… とおく
a＝1/7 は有理数だから、aに対して m≧2 なる正の整数mが一意に定まって、
小数第m位以下の有理数aの数字は循環小数である
よって、或る正の整数mが存在して、各 i＝m、…、2m−1 に対して
0、1、2、…、9 の中のどれか1つの数字 a_i が定まって
a＜1/7＜a＋
農{n＝1、…、+∞}(a_m…a_{2m−1}/10^{n＋(2m−1}))
が成り立つ。級数
農{n＝1…、+∞}(a_m…a_{2m−1}/10^{n＋(2m−1)})
は有理数 (a_m…a_{2m−1}/10^{2m−1})×10/9 に収束するから、
(a_m…a_{2m−1}/(9×10^{2(m−1)}) の形の分数に等しい
よって、0.a_1a_2…a_n＜1/7＜0.a_1a_2…a_n＋(1/10^{n＋1})
を満たすような正の整数nと数字 a_n はどちらも存在し得ない