[選択関数の存在]
選択公理を仮定したとき、任意の実数列に対してしっぽ同値類の代表列を与える選択関数 f:R^N→R^N が存在する。

[カンニング不要の原理]
任意の実数列sの任意有限個の項を0に置換した実数列をs'とすると、f(s)=f(s')。
つまり、f(s)を知るのにsの任意有限個の項は不明でよい。

[箱入り無数目の主張]
任意の100個の実数列それぞれに、当てる候補の箱が存在して、ハズレ箱（代表列の対応する箱と中身が一致しない箱）はたかだか1箱である
∃f.∀s1,s2,...,s100∈R^N.∃n1,n2,...,n100∈N.∃k∈{1,2,...,100}.∀i∈{1,2,...,100}.i≠k⇒si(ni)=f(si)(ni)

[証明]
決定番号の定義は既知とする。
自然数の全順序性より、任意の100個の実数列のうち単独最大決定番号の列はたかだか1列。
単独最大決定番号でない列siについて、他の99列の決定番号最大値をniとすれば、決定番号の定義よりsi(ni)=f(si)(ni)。■