大学学部レベル質問スレ 27単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 26単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712455912/
大学学部レベル質問スレ 25単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1706199058/
大学学部レベル質問スレ 24単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703434188/
大学学部レベル質問スレ 23単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/
大学学部レベル質問スレ 22単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

前スレ、自分の質問で埋めてしまったので新スレ立てました

f(x) = (1-x)^(-1/x) = Σa_nx^n をテイラー展開とする。lim[n→∞]a_n = 1 を示せ。

(解) g(x) = (1-x)^(-1/x+1) とし g(x) = Σb_nx^n をテイラー展開とするとき an = Σ[k≦n] b_k である。
f’(x) = f(x)(-1/x log(1-x))’ より
. a_n+1 = 1/(n+1) Σ[k≦n]a_k (n-k+1)/(n-k+2)
から a_n は単調減少でとくに lim (1/n)Σ[k≦n] b_k = 0 である。よってタウバーの定理より
. lim[n→∞]a_n = lim Σ[k≦n] b_k = g(1) = 1
である。

(参考) g’(x) = g(x)((-1/x+1)log(1-x))’ より
b_n+1 = -1/(n+1) Σ[k≦n]b_k 1/(n-k+2)
である。

import Data.Ratio

xs *** ys = [sum [(xs!!k)*(ys!!(n-k))|k<-[0..n]] | n<-[0..]]

as' = [(n+1)/(n+2) | n<-[0..]] :: [Rational] -- taylor exp. of ( (-1/x)log(1-x) )’
as = 1:(zipWith (*) [1/n | n<-[1..]] $ as *** as')

bs' = [-1/(n+2) | n<-[0..]] :: [Rational] -- taylor exp. of ( (-1/x+1)log(1-x) )’
bs = 1:(zipWith (*) [1/n | n<-[1..]] $ bs *** bs')

main = do
print $ take 10 as
print $ take 10 bs

[1 % 1,1 % 2,11 % 24,7 % 16,2447 % 5760,959 % 2304,238043 % 580608,67223 % 165888,559440199 % 1393459200,123377159 % 309657600]
[1 % 1,(-1) % 2,(-1) % 24,(-1) % 48,(-73) % 5760,(-11) % 1280,(-3625) % 580608,(-5525) % 1161216,(-5233001) % 1393459200,(-1212281) % 398131200]

>>3
ありがとうございます
前スレでは勝手に商で考えてしまいましたが積で考えて
a_nを部分和で表して考えるわけですね

しかしタウバーの定理の条件は
lim(1/n)Σ[k≦n]b_k=0ではなく
lim(1/n)Σ[k≦n]kb_k=0のようですが
そこは大丈夫なでしょうか？

H. L. Royden著『Real Analysis Third Edition』

p.19 Problem 20

C を集合のコレクションとし、 E を C により生成されるσ-代数の元とする。そうすると可算なサブコレクション C_0 ⊂ C で E が C_0 により生成されるσ-代数 A_0 の元であるようなものが存在する。

>>4
イヤそんなのないやろ

wikiではそう書いてるな
でも多分誤植かミスやろ

Tauberを適用してるのはg(x)の方でしょ？
だとすれば有名な条件はlim n・b_n→0だから
次数的に見ればlim(1/n)Σ[k≦n]k・b_k=0の方が正しいような・・・

帰納的に bₙ≦1/(n+1)
(n+1)bₙ₊₁
= b₀/(n+2) + b₁/(n+1)+...+bₙ/2
≦ b₀/2+ b₁/3 +...+bₙ/(n+2)
≦ 1/2 + 1/6 + ... + 1/((n+1)(n+2))
= (n+1)/(n+2)

それだとlim n・b_n ≦ 1しか言えないような

>>5

あ、分かりました。

342 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/06/11(火) 16:56:59.84 ID:PMu+c6qs
H. L. Royden著『Real Analysis Third Edition』
John M. Lee著『Introduction to Topological Manifolds Second Edition』

この２冊を並行して読むことにしました。
Roydenの本は最新版が第４版ですが、これはRoydenの死後に他の著者との共著として出版されたものです。
やはり第３版がいいだろうということで第３版の中古を買いました。

RoydenのReal Analysisの最新は第5版です。第3版は最低の本で、第4版で分かりやすさと正確さが増えました。第3版には命題、問題、例に多数の誤り、数学の教科書史上最多の誤りがあります。
なぜ訂正されなかったのか分かりました。Roydenの死亡でした。
独学で第3版を使用する場合、多くの時間を無駄にすることになります。

馬鹿アスペは実解析の壁に阻まれました。理由は誤植です。

>>3
an=detA/n!
A=
1/2 -1
2/3 1/2 -2
3/4 2/3 1/2 -3
4/5 3/4 2/3 1/2 -4

(n-1)/n ………… 1/2 -(n-1)
n/(n+1) (n-1)/n …… 1/2

a0=1
a1=1/2=0.500
a2=11/24=0.458
a3=7/16=0.438
a4=2447/5760=0.425
a5=959/2304=0.416
a6=238043/580608=0.410
a7=67223/165888=0.405
a8=559440199/1393459200=0.401
a9=123377159/309657600=0.398
a10=29128857391/73574645760=0.396

a100=0.371375969
a125=0.370699953

1/e=0.367879441

a_n=ean

赤チャートの数IIIを何周したら大学数学に進んで良いのですか？
もうすぐ５周目が終わりますがまだ早いですよね

釣れるかな

無理そう

219 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/06/06(木) 22:35:34.76 ID:+GJwCRsA [2/2]
今まで学校の授業でほとんど先生の話は聞いたことがない
全部教科書を眺めて自分なりに理解してきた
唯一持ってる参考書は赤チャートの数学�Vで例題も普通の問題もノーヒントで解けるまで解答を見ない
解き方は全然違うことが多いけど99%はなんとか解けた
ただ時間はかなりかかる

こんな人向けの大学数学のシリーズ本は？

餌は赤チャートが流行り

log(1+x)=Σ_{n=1}^{∞} (-1)^(n+1) x^n/nと定義したときの、
logxy=logx+logyの証明が分かりません。
よろしくお願いします。

それがlogを定めることを証明するんだろ、めんどくさい

f'(x) := d/dx f(x)
log'(x) = 1/x (∵ def.)
log'(xy) = 1/x (∵ low of diff. of comp. )
( log(x) + log(y) )' = 1/x
log(1y) = log(y)
log(1)+log(y) = log(y)

>>23
微分方程式を満たす証明は？

(∵ def. )

馬鹿乙

>>22
微分でいいから簡単では

>>21
expx=Σx^n/n!がexp(x+y)=expx+expyを満たすことを級数の等式として証明するように？

>>27
だから定義に従ってすべて証明しろよ

添削例
関数fをf(x)=Σ_{n=1}^{∞} (-1)^(n+1) x^n/nと定義します。
(1)右辺の収束半径を求めよ。
(2)df(x)/dx=1/(1+x)を示せ。
(3)f((x+1)(y+1))=f(x+1)+f(y+1)を示せ。
(4)f(x)=log(1+x)を示せ。

>>29
はぁ

>>30
元の問題でこれは求められてないと思うよ

あー違うか

f'(x) = g'(x)
f(1) = g(1)
∴ f(x) = g(x)

は微分方程式論使うからダメという

>>34
平均値の定理だけでは？

だよねぇ

>元の問題でこれは求められてないと思うよ

これがlogの定義じゃないのか？
>log(1+x)=Σ_{n=1}^{∞} (-1)^(n+1) x^n/nと定義したとき

べき級数は常に絶対収束して項別微分ができますｗｗｗ

べき級数で与えられた関数がその度毎回収束半径内で項別微分可能である事を示す事を要求するならソイツはそもそもなーんにもわかってない

代替え案
logx=∫(1,x)1/xdxと定義すれば工学部でもOKさ

>>39
まだ頓珍漢だな

>>40
logxを微分方程式df(x)/dx=1/x,x(1)=0の解にすればいいわけだ

21がアホか、後出しなんだろ

なんか級数をごちゃごちゃいじくり回すしょうもない証明持っててそれ以外は全部ダメにしたいんやろ
ゴミ

>>44
だと思うね
頑張ればできるかもしれないが頑張りがいがない

https://i.imgur.com/xFyI45U.jpg
即3000P+2500Pを貰えます　 　

>>44
元々証明持ってないかもな

21は逃亡、釣りだったんだろ

DEF:: logx=∫[1,x]dt/t
THM:: logxy=∫[1,xy]dt/t
=∫[1,x]dt/t+∫[x,xy]dt/t
=∫[1,x]dt/t+∫[1,y]ds/s (t=xs)
=logx+logy
THM:: logx^n=∫[1,x^n]dt/t
=∫[1,x]nds/s (t=s^n)
=nlogx (n∈R)

同値関係で割る
って言い方、しますか？

します
よく使います

強三角不等式|x+y|<max{|x|,|y|}は、無限和|Σx_i|<max{x_i|iは正整数}でも成り立ちますか？

>>52
>|x+y|<max{|x|,|y|}
そもそもこれが意味わからん

非アルキメデスな距離の話じゃない

>>52
成り立つ、無限和の中の最大の元とそれ以外に分ければ明らかに不等式を破る
あと強三角不等式は≧、質問は「Aを仮定した時Bは成り立つか？」という形で書くように

p進距離

Wikipedia『ピザの定理』を読んでいます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%B6%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

「p を円板内部の任意の点とし、まず p を通る任意の直線に沿って円板を切り」とありますが、pを通る任意の直線に沿って切ったらバラバラになり、ピザは消滅してしまいますよね。

xy平面上の点全体の集合において
2点A,Bのの関係で「x座標の差が整数」という関係は同値関係ですか？

ピザと言えばペペロニ

δ関数は偶関数なので
∫[0,∞]δ(x)dx=1/2*∫[-∞,∞]δ(x)dx=1/2
のはずですが
Wolframalphaでは
1/2ではなく「θ(-o) ただし，o ∈ R，θはヘビサイドの階段関数」
となります。なぜヘビサイドの階段関数がでてくるのですか？

なぜ？
>δ関数は偶関数なので

>>59
ペペロニを最大にするプレイヤーとサラミを最大にするプレイヤーとのNash均衡

答え
工学部がよくやる間違い

∫[0,∞]δ(x)dx=1で合ってますか？

間違い

[0, ∞]なら1じゃないの？

混乱

お前には無理

>>57
「全ての」と「任意の」の違いを説明するときに使わせてもらうわ

wolframも怪しいｗ

>>67
そもそも超関数の定義すら分かっていない、混乱ではない

>>69
俺も

超関数ていろいろ定義あってめんどくさい

定義は1つ

ここで解析の質問しても・・・、代数の質問なら喜ばれる

0が範囲に入ってるのに1以外の答があるんか？

簡単にしらべたら5種類くらい出てきたわ…

酷い

おい，てめーら，AIごときに負けんじゃねーよ

質問
∫[0,∞]δ(x)dx=1で合ってますか？

Chat GPT
はい、それで合っています。
ディラックのデルタ関数 δ(x) は、「関数」ではなく分布（または一般化関数）と呼ばれる数学的対象です。ディラックのデルタ関数の重要な性質の一つは、その積分が1になることです。

おい，てめーら，AIごときに負けんじゃねーよ

質問
∫[0,∞]δ(x)dx=1で合ってますか？

Chat GPT
はい、それで合っています。
ディラックのデルタ関数 δ(x) は、「関数」ではなく分布（または一般化関数）と呼ばれる数学的対象です。ディラックのデルタ関数の重要な性質の一つは、その積分が1になることです。

>>75
はぁ？

>>80
>∫[0,∞]δ(x)dx=1で合ってますか？
これも聞いてみて
∫[0,∞]δ(-x)dx=1で合ってますか？

馬鹿乙

>>82
いいえ、∫[0,∞]δ(-x)dx=1ではありません。この積分はゼロになります。だって，まあ，そうなるよね。

>>84
サンクス

お笑いデルタ関数

デルタ関数はδ(x)、任意の試験関数fに対して<f,δ>=f(0)となるもの

佐藤超関数風
1/{x±i0}=P.V.1/x∓ iπδ(x)

chatgpt論破してやったぜー

ここでいいのかな
素朴な疑問
sin xの因数分解としてx(1±-π)(1±-2π)...がありますが、同じ解を持つ
0,π,-π,2π,-2π... の順でx軸と交差する渦巻曲線や
...nπ,(n-1)π,(n+2)π,(n+1)π,(n+4)π...と交点が続く、車輪の外の点の軌跡をつないだサイクロイド?曲線の因数分解式はどうなるのでしょうか?

>>90
勘だけど対数関数ってそんな雰囲気ないかな

すごいもの発見したなｗ
>sin xの因数分解

無限乗積表示だろ

それで

それをΓ(x)Γ(1-x)と比べてみる

続けて

バカが食い付いたな

通常のSchwartz超関数はtest functionは連続であるから超関数の積分などは扱えない
佐藤超関数は簡単で質問にあるδの積分は1/2となる
不連続関数をtest functionとする超関数を考えることもできるがこの場合δ関数は一通りに決まらない
しかしもし超関数のフーリエ変換を定義できるようにtest functionの空間を選ぶならば、不連続点においてその両端の和の1/2がδ関数の値となることが導かれる
これはフーリエ逆変換の不連続点における値に関する定理から従う

なんないよ

>>80
その「分布 (distribution)」てのは「超関数」と訳すんだぜ

>>100
何を言いたいのか知らんけど、超関数と一般化関数は同じもの

超関数は、一般的な関数ではない特殊な種類の関数です。通常の関数が点ごとに定義されるのに対し、超関数は広義にわたる範囲で定義されることが特徴です。具体的には以下のような性質を持ちます：
1. **拡張性**: 超関数は、通常の関数では定義できないような場所での値を有限な値として与えることができます。例えば、ディラックのデルタ関数がその一例で、この関数は点ではなく関数として解釈されます。
2. **演算の可能性**: 超関数は他の超関数や通常の関数と演算ができます。例えば、超関数同士の畳み込みや微分が定義されます。
3. **線型性**: 超関数は線型性を持ちます。つまり、超関数の線型結合もまた超関数です。
4. **分布としての表現**: 超関数はしばしば分布として表現され、特に関数の空間での双対空間の要素として理解されます。
超関数の理論は、特に微分方程式やフーリエ解析、物理学などの分野で重要です。

怪しい

開集合（かいしゅうごう、open set）は、位相空間における基本的な概念の一つです。位相空間では、集合の開閉性についての性質が重要であり、開集合と閉集合が基本的な概念です。
具体的には、位相空間 \( (X, \mathcal{T}) \) において、以下の条件を満たす部分集合 \( U \subseteq X \) を開集合と呼びます：
1. **内部点の存在**: 任意の点 \( x \in U \) に対して、ある \( \epsilon > 0 \) が存在して、 \( B_\epsilon(x) \subseteq U \) となること。ここで \( B_\epsilon(x) \) は \( x \) を中心とする半径 \( \epsilon \) の開球（距離空間での場合）または開球の一般化（位相空間での場合）を表します。
言い換えると、開集合はその中の点から少し離れた周囲の領域も全て含むような集合です。位相空間の位相 \( \mathcal{T} \) は、その空間内のどの部分が開集合であるかを決めるルールです。

だめだな

>>101
佐藤超関数は分布ではない

>>104
そんなことはいってないだろ

distributionは関数論の基礎への応用があり
hyperfunctionは関数論の基礎の応用である

>>58
同値関係の定義を確かめるだけだろ

佐藤超関数が分布でない例って何かあった？

佐藤超関数は分布だよ

しおもな
なぜ日本語訳で語るかな

日本語訳
それも直訳
意味なしの

>>108
hyperfunctionのsheafはflabbyで
distributionのsheafはsoft

AをEuclid 空間R^nの無限濃度の閉集合とします。
(Mの閉包)=Aを満たす高々可算なR^nの部分集合Mが存在することを示してください。
よろしくお願いします。
Mの閉包の定義はMを包む最小の閉集合としています。

ここは質問スレであって出題スレではない

有理点しょ

一番すごい関数はなんですか？

>>115
有理点を含まない場合どうするかという問題だろう

ユークリッド空間は第二可算公理を満たす

https://takataninote.com/topology/countable.html

ゾルゲンフライ直線はよくみるよね

このすれでは聞いたことがない

Let Y be the set of ordinals less than the first uncountable ordinal; i.e., Y = {x ∈ X : x < Ω}. Show that every countable subset E of Y has an upper bound in Y and hence a least upper bound.

Y を最初の非可算順序数より小さい順序数の集合とします。つまり、Y = {x ∈ X : x < Ω} です。Y のすべての可算部分集合 E には Y の上限があり、したがって最小の上限があることを示します。

>>116
よく言われるのはゼータ関数

>>123
Xて？

>>125

Proposition: There is an uncountable set X that is well ordered by a relation < in such a way that:

i. There is a last element Ω in X.
ii. If x ∈ X and x ≠ Ω, then the set {y ∈ X : y < x} is countable.

>>125
馬鹿アスペに反応してしまったので忘れてｗ

>>117
無理数でずらせば？

誤差関数f(x)=1/√2π∫[0,x]exp(-t^2/2)dtでd/dt(erf(x))の計算しようとしています。
F(x)=∫exp(-x^2/2)dxとおくと
F(0)=∫1dx=x+C
d/dx(F(0))=1
d/dx(erf(x))=1/√2π(d/dx(F(x))-d/dx(F(0)))=1/√2π(exp(-x^2/2)-1)となってしまいますが
d/dx(erf(x))=1/√2πexp(-x^2/2)が正しい答えのようです。
どこが間違いなのですか？

>>46
じゃあ一度やってみるか

>>129
＞どこが間違いなのですか？

＞F(0)=∫1dx=x+C

>>131
正解を教えてください。

？

>>123
普通の定義でいいんなら
∪Eが順序数でしかも可算だからYの元でΩじゃないから
∪Eか∪E＋1がそれじゃないの？

>>117
含まなくてもいいんじゃない？

てか自動的に含むか

>>132
d/dx(erf(x))=1/√2πexp(-x^2/2)が正しい答えのようです。

>>131
F(x)=∫[-∞からx]exp(-t^2/2)dt

と書きましょう
初学者によくある間違いです

F(x)=∫[-∞,x]exp(-t^2/2)dt/{√2π}

>>46
稼いでいる強い企業は凄いな

>>138
どうして不定積分ではだめなんですか？
F(x)=∫f(x)dxなら
∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)
って高校生の時習いましたよ。

>>141
そこはどうでも良いので好きにしてください
積分変数と真の変数を混同しているのが問題です

>>141
定義に沿って微分してみろよ

>>142
>>142
誤差関数f(x)=1/√2π∫[0,x]exp(-t^2/2)dtで
F(t)=∫exp(-t^2/2)dtとおくと
F(0)=∫1dt=t+C
d/dx(F(0))=0
d/dx(erf(x))=1/√2π(d/dx(F(x))-d/dx(F(0)))=1/√2π(exp(-x^2/2))
ということですね。ありがとうございました。

今後ともやらかしそーだな、期待してるよ

つかネタ以外何者でもない

＞F(t)=∫exp(-t^2/2)dtとおくと
＞F(0)=∫1dt=t+C

駄目だこりゃ
これで大学生なのか……一応聞くけど理系じゃないよね？

どこが駄目なの？

>>144のようにF(t)=…と書くならこれはtの関数ですよね
それにt=0を代入したF(0)は定数ですよね
F(0)=t+Cとはなりませんよね

∫f(x)dxにx=0を代入したものは∫f(0)dxではないです
だから>>138の通りに書いてみろと言われているのに何故やらない？

F(t)=∫(0,x)exp(-t^2/2)dtと置けばいいじゃん

>>149
意味はわかりました。
でも
f(x)=1/√2π∫[0,x]exp(-t^2/2)dtで
F(x)=∫[-∞からx]exp(-t^2/2)dt
と置くことに何の意味があるのかわかりません。
定数係数をはずして積分範囲を変えただけですよね。

そもそもerf(x)=2/√π∫[0,x]exp(-t^2)dtでした。

関数erf(x)=2/√π∫[0,x]exp(-t^2)dtで
F(t)=∫exp(-t^2)dtとおくと
F(0)=定数
d/dx(F(0))=0
F(x)=∫exp(-x^2)dx
dF(x)/dx=exp(-x^2)なので
d/dx(erf(x))=2/√π(dF(x)/dx-dF(0)/dx)=2/√πexp(-x^2)
でよいでよね？

>>147
なんで釣りネタに反応するかや

{F(x+h)-F(x)}/h=1/h・∫(x,x+h)exp(-t^2/2)dt->exp(-x^2/2)

微積分をやらずに統計を勉強してる非数学科の学生といったところか

あら，ご明察

微積分と線型代数はやっといた方がいいぞ

>>158
tks xoxo

四則演算は何故四則に収斂出来るのか証明方法はあるのでしょうか？

>>160
四則以外にも色々と演算はあるけど四則に収斂してるという意味は？

子供に受けるのはつけざん
12+34=1234
結合法則は満たす

自由モノイドかw

>>163
例外処理をモナドで書ける小学生

実数上の連続かつ可換かつ結合的な二項演算って分類されてたりするんかな
加法、乗法、min、それらをRの同相で動かしたもの
以外にどんなのがあるんだろう？

あと1点に潰す自明な演算もあるか

>>165
0のまわり確認してないけど
xy/(x+y)
って満たしてるんかな

でもこれはℝ∪{∞}の同相で動かす系に含まれてるな…

1/xで動かした加法だね

あと思いつくのは
y^2=x^3
に無限遠点を足して原点を除いてℝと同相にしてから楕円曲線と同じように演算を決めるとか

>>170
計算してみたけど、それ>>167と同相になると思う

>>165
加法と乗法はRとR+とだと同型
R×はR+を±で拡張
RはR×に0を無限遠（のひとつ）として追加だけど
0を±0別々に追加もできるよね
同様に∞を追加も
単独でも±∞別々にも追加できるか

問題としては
R→Rの連続写像の作る半群、その部分代数のうち可換でRと同相なものを分類する

単位元を持つ場合は微小変換を考えられ、加法(+)と同型になる
また、同相写像を含む場合はやはり単位元を持つ場合に拡張できるので
r>0もしくはr>1なる実数の作る半群と同型になる(多分)
同相写像を含まない場合は…よくわからんね、とにかく沢山あるみたいだが

>>173
なるほど
その条件は必要条件だけど十分条件にもなってる？
必要十分だとして、それが沢山あることはどうやって示すの？

Rに加法は寝て待つぐらい無数にある

>>160
大学の数学の質問か？

>>174
ちょっと間違っていた
R→半群の連続写像があって逆関数が連続に取れるという条件があるかな

例としては
f:R→非負実数、で連続かつ全射なものを取り、さらにf^{-1}が連続なように選べるとする
<x,y>= f^{-1}[f(x)+f(y)]
とすればこの演算は条件を満たす

すまん、よそでやってくれ

それ結局Lie群になるしかなかったような

第五問題か

でもminもあるよ

位相群ですらなしって事？
そんなの考える意味あるん？

結合率満たす
単位限無しの
モノイドか

>>182
あろうよ

単位元無しのモノイドって
単位元別に用意してやれば
単位元有りにできるね

解けるなら意味あるやろな
それができるならその回答は第五問題への回答を部分に含むんだから
数学は解けそうで解けない問題を回避する能力が大事

ポエムおっさん草

四則演算からヒルベルトの第五問題ｗｗｗｗ

グロタンディーク構成だと
minから作られる群は0だね

やっぱ群よりモノイドの方が豊富というわけか

ポエムを追加すると無限に拡がる（）

和と積を妄想したらモノイドになりましたｗ

>>177
写像としての可換性と演算としての可換性も少しギャップあるよね

たしかに演算をRの部分集合に制限したものが利用するパターンがあるね
でも独立なのは(0,∞),(1,∞)の乗法だけかな(前者は加法、後者はそのf^-1(f(x)+f(y))的な演算)
k>0に対して(k,∞)の乗法モノイドはkが違うときどうなってるんだろう
実は全部独立？

>>178
煽ってるだけの人が何言ってんの

>>177
そのfの取り方としてf(x)=a^xとしたとき
a→0,∞の極限がmin,maxになるね

釣られてる奴にが何を言う

√(x^2+y^2)も満たすから、fは全単射じゃなくても連続な分岐が1個決められればいいんだな

四則演算は何故四則に収斂出来るのか証明方法はあるのでしょうか？

何が収斂するんだ？

A, Bが共にΔ_n^ZFの時、A✕BはΔ_n^ZFか？

四則演算が四則に収斂出来る。
四則演算は四則だから収斂してる。

四則演算 【加減乗除】
四則演算（加減乗除）とは、算術計算で最も基本的な4つの計算法である足し算、引き算、掛け算、割り算のこと

数学、とくに抽象代数学における単系（たんけい、英: monoid; モノイド）はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群（単位的半群）であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。
モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。

ヒルベルトの第五問題
位相群がリー群となるための条件

ポエム（poem）. 1 1編の詩。韻文作品。 2 詩的な文章。詩的だが中身のない文章・発言を 揶揄 やゆ していうこともある。

>>193
1<a≦bのときは(a,∞)と(b,∞)の乗法構造はlogb/loga乗で同型か
-∞<a<0か0<a<1のときは(a,∞)は乗法で閉じてないからダメ
結局、(-∞,∞),(0,∞),(1,∞),(2,∞)の乗法構造が同型を通じて使えるね

>>197
たしかに
そういう場合は端点も使えるようになるのか…

>>206
×同型を通じて使える
⚪︎同相を通じて使える

えーと、まとめると

Rの乗法的に閉じた部分集合とそこへの連続写像fで連続右逆射を持つものからf^(-1)(f(x)f(y))と作られる演算
あるいはその形の極限から作られる演算

以外にR上の演算はあるか？

病的な例作りたいんどけど、実数を正則連分数展開して項ごとに足すのって連続なんだろうか

連分数は自然数の列という離散的なものへの対応だから実数の連続性とは相性悪そう
有理数のときは途中から∞が並んでると思うべきだけど
そこにいくら有限の自然数足しても∞だから変わらない

「車が6台。1台に5人乗ると…」6×5か5×6か、どりらですか？

確かに結果が有理数に偏ると連続性があやしそうだな
項ごとに足すんじゃなくてminにしたほうが望みはあるか

田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』

A_0 ⊃ B_0 ⊃ A_1 とし、 A_0 から A_1 への全単射 f が存在するとする。
i ≧ 2 とする。
A_i := f(A_{i-1}) と定義する。
j ≧ 1 とする。
B_j := f(B_{j-1}) と定義する。

このとき、 A_0 = (A_0 - B_0) ∪ (B_0 - A_1) ∪ (A_1 - B_1) ∪ (B_1 - A_2) ∪ … が成り立つことはどうやって証明しますか？

A_0 ⊃ (A_0 - B_0) ∪ (B_0 - A_1) ∪ (A_1 - B_1) ∪ (B_1 - A_2) ∪ … は自明です。

A_0 ⊂ (A_0 - B_0) ∪ (B_0 - A_1) ∪ (A_1 - B_1) ∪ (B_1 - A_2) ∪ … はどうやって示しますか？

田中さんらはこれを自明に成り立つこととしています。

>>213
fが恒等写像だとでてくる集合が全部同じになって、右辺が空集合になって成り立たない

>>215

>>213
は、
「
A_0 ⊃ B_0 ⊃ A_1 とし、 A_0 から A_1 への全単射 f が存在するとする。
このとき、 A_0 から B_0 への全単射が存在する。
」

という命題の証明中に出てきます。

A_0 = B_0 or B_0 = A_1 のときには、 A_0 から B_0への全単射が存在することは明らかなので、質問をかえて
B_0 が A_0 の真部分集合であり、 A_1 が B_0 の真部分集合である場合に、
A_0 ⊂ (A_0 - B_0) ∪ (B_0 - A_1) ∪ (A_1 - B_1) ∪ (B_1 - A_2) ∪ … は成り立ちますか？

>>214
∩An=φ=∩Bn
のときでしょ

>>216
A_0 ⊃ B_0 ⊃ A_1 ⊃ X ≠ ∅
なXがあって、fをXに制限すると恒等写像になってると、右辺からXがなくなっちゃうからだめだと思う

A_0 ⊃ (A_0 - B_0) ∪ (B_0 - A_1) ∪ (A_1 - B_1) ∪ (B_1 - A_2) ∪ …

は成り立つので、

f : A_i - B_i ∋ x →　f(x) ∈ A_{i+1} - B_{i+1}
id : B_i - A_{i+1} ∋ x → x ∈ B_i - A_{i+1}
id : A_0 - (A_0 - B_0) ∪ (B_0 - A_1) ∪ (A_1 - B_1) ∪ (B_1 - A_2) ∪ … ∋ x → x ∈ A_0 - (A_0 - B_0) ∪ (B_0 - A_1) ∪ (A_1 - B_1) ∪ (B_1 - A_2)

という A_0 から B_0 への写像を考えるとこれは全単射ですね。

A, B を可算無限な全順序集合で最大元、最小元を持たず稠密であるとする。
A と B は順序同形である。

この定理の証明でカントールの往復論法という論法が使われています。

この癖のある論法を使う理由は、全射であることを保証するためですか？

A = {a_1, a_2, …}
B = {b_1, b_2, …}

とする。

c_1 := b_1 とする。

a_1 < a_2 ならば i ∈ {i : b_1 < b_i} とし、 c_2 := b_i とする。
a_1 > a_2 ならば i ∈ {i : b_1 > b_i} とし、 c_2 := b_i とする。

a_1, a_2 を昇順にソートしたものを新しく a_1, a_2 とする。
c_1, c_2 を昇順にソートしたものを新しく b_1, b_2 とする。

a_2 < a_3 ならば i ∈ {i : b_2 < b_i} とし、 c_3 := b_i とする。
a_3 < a_1 ならば i ∈ {i : b_i < b_1} とし、 c_3 := b_i とする。
a_1 < a_3 < a_2 ならばi ∈ {i : b_1 < b_i < b_2} とし、 c_3 := b_i とする。

a_1, a_2, a_3 を昇順にソートしたものを新しく a_1, a_2, a_3 とする。
c_1, c_2, c_3 を昇順にソートしたものを新しく b_1, b_2, b_3 とする。

これをずっと続けると、

a_i → b_i は順序を保つ A から B への写像である。

ただし、全射かどうかは分からない。

>>220

訂正します。

A, B を可算無限な全順序集合で最大元、最小元を持たず稠密であるとする。
A と B は順序同形である。

この定理の証明でカントールの往復論法という論法が使われています。

この癖のある論法を使う理由は、全射であることを保証するためですか？

A = {a_1, a_2, …}
B = {b_1, b_2, …}

とする。

c_1 := b_1 とする。

a_1 < a_2 ならば i ∈ {i : b_1 < b_i} とし、 c_2 := b_i とする。
a_1 > a_2 ならば i ∈ {i : b_1 > b_i} とし、 c_2 := b_i とする。

a_1, a_2 を昇順にソートしたものを新しく a_1, a_2 とする。
c_1, c_2 を昇順にソートしたものを新しく b_1, b_2 とする。

a_2 < a_3 ならば i ∈ {i : b_2 < b_i} とし、 c_3 := b_i とする。
a_3 < a_1 ならば i ∈ {i : b_i < b_1} とし、 c_3 := b_i とする。
a_1 < a_3 < a_2 ならばi ∈ {i : b_1 < b_i < b_2} とし、 c_3 := b_i とする。

a_1, a_2, a_3 を昇順にソートしたものを新しく a_1, a_2, a_3 とする。
c_1, c_2, c_3 を昇順にソートしたものを新しく b_1, b_2, b_3 とする。

これをずっと続けると、

f : a_i → b_i は A から f(A) ⊂ B への順序同形写像である。

C を N = {1, 2, 3, …} の無数の元をもつ部分集合とする。

このとき、 N から C への写像で、 i ∈ N に C の i 番目に小さな元を対応させる写像が存在する。

James R. Munkresさんの『Topology Second Edition』ではこれをちゃんと証明しています。

普通、この類の命題は証明せずに当たり前のこととされますが、なぜそのようなことが許されているのでしょうか？

f(1) := min C
と定義する。

n > 1 に対しては、
f(n) := min C - {f(1), …, f(n-1)}
と定義する。

とだけ書いて、そのような f : N → C が存在すること自体は証明しません。
これってありですか？

n ∈ N とする。
n はいくら大きくても有限だから、 f(1) = min C, f(2) = min C - {f(1)}, f(3) = min C - {f(1), f(2)}, … と計算を続けていけばいつかは求まるみたいな感覚なんですかね？

関数というのを入力が与えられたときに結果を出力する箱みたいな説明があります。
これの弊害ですかね。

>>220
>カントールの往復論法
そんな名前あったんだ
ここで以外に類似の使い方
見たときない

>>221

に書いた議論では全射であることを保証できません。
わざわざ妙な論法を使っているのは、それを保証するためですか？

>>227
はやくiPadProを買え
馬鹿が直る

>>221
>これをずっと続けると
いつまで経ってもa_1より小さいものが現れるんだけど？
fてどんな定義？
ソートしちゃダメじゃん
ていうかc1,c2ソートしてb1,b2にて元のb2どうすんの？
ていうかそもそもfを全射にできるわけないじゃん
ていうかf:A→f(A)なら全射当たり前じゃん

>>223
帰納的定義は許されるよ
>>225
弊害？

田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』

A を集合としたとき、 A^n から A への写像を演算だと言っています。
定数は A^0 から A への写像とみなせると書いています。

例えば、自然数の集合 N = {0, 1, …} の定数 0, 1 はそれぞれ

N^0 = {空写像} ∋ 空写像 → 0 ∈ N
N^0 = {空写像} ∋ 空写像 → 1 ∈ N

と解釈するということですか？

>>230

帰納的定義で定義される関数が存在することは証明する必要がないということですか？
理由を教えて下さい。

新井敏康著『数学基礎論 増補版』

ってどうですか？

数理論理を勉強せずに数学基礎論を勉強することは可能ですか？

>>232
全部合併させるだけだからね
超限帰納的でもおk

>>235

全部合併させて証明するということですよね。
やはり証明は必要ということですね。

(Q, 0, +, <) と (Q^+, 1, ✕, <) は同形になるか？

>>236
必要と思った人は証明付けたら？

>>237
全然違うに決まってんじゃん

>>231
相変わらず下らない疑問しか持たないですね

>>237

以下、登場する分数はすべて既約分数であるとする。
同形写像が存在するとしてそれを F とする。
a/b := F(1) ∈ Q^+ とおく。
n を任意の正の整数とする。
F(1/n) = (a/b)^(1/n) = l/m とおく。
a * m^n = b * l^n
a がある素数 p で割り切れると仮定する。
gcd(a, b) = 1 だから l は p で割り切れる。
よって、 l^n は p^n で割り切れる。
gcd(l, m) = 1 だから a は p^n で割り切れる。
これは矛盾である。
よって、 a = 1 でなければならない。
同様にして、 b = 1 でなければならない。
よって、 F(1) = 1 でなければならない。
すると、 F(0) = 1 = F(1) となるが、 F が単射であることに矛盾する。

>>234
数学基礎論・数理論理学　その19
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/

>>229
>そもそもfを全射にできるわけないじゃん
これは言い過ぎた
そもそもfが全射になるとは限らないじゃん
で
で
番号の小さい方から選んでいけば
どれもいつかは選ばれて全射に

>>237
ジェネレータ考えたら自明

>>232
じゃあお前に聞くけど、数理論理学の本で｢論理式｣って言葉が、あんなふうにして定義されてて、それでキチンと定義がされてるものだとされる理由を答えてみ。

ZFCの中で記述された帰納的定義は、
メタ的な帰納的定義とは区別しなければいけない。

>>223はZFCの中で記述された帰納的定義なので、
この定義を満たす写像 f：N→C が
ZFC の中に存在することは、ZFC の中で証明しないとダメ。

帰納的定義を満たす写像が ZFC の中に存在することの証明は、

「東北大学情報科学研究科数学教室 第15章 自然数」

でググるとトップに出てくるpdfの定理15.3, 15.4を参照すべし。
ただし、ここでの定理 15.3, 15.4 はちょっと弱い形の定理なので、
>>223のケースでは直接当てはめることはできない。
無理やり使うことは可能のはずだが、コツがいる。

>>246
f:N→Nを定義するのに
f⊂N×Nがfn⊂n×Nの合併となるようにイメージして
fnの満たすべき条件を単独の述語Pで書いたらいい
Pを満たすN×Nの部分集合全体を考えて
それが空で無く（f1の存在）帰納的集合であると示して
極大元を取るて感じ

田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』

この本はかなりいい本だと思いますが、なぜ話題にならず絶版になったのでしょうか？

>>245
どの本のどの定義のこと言ってるんだw

アスペに釣られてさあー大変、おっさん一緒に遊びましょう

>>250
大抵の本の
令和6年6月30日的な定義のことだな

田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』

第2章の自然数の理論のところですが、結局これどうやって示すんだろう？という根本的なところは公理にしてしまうんですね。
それでも、よく知っている命題がどうやって証明されるのかを見るのはつまらなくはないですが。

印象としては、よい公理を設定しているだけですね。

田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』

「
次の補題は、 < について、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示す。

補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n.
」

m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示すには、

m < n → 「n < m + 1」は成り立たない

ことを示す必要があると思いますが、どうやって示すんですか？

「
定理2.9 三分律 m < n ∨ m = n ∨ n < m が成り立つ。
」

これも3つのうち一つのみが成り立つとは書いていません。

その後のページを見ても一つのみが成り立つということは書いていません。

これで大丈夫なんですか？

のちの章で正則性公理というのが登場すると書いてあって、正則性公理によると m ∈ n かつ n ∈ m は成り立たないことが示せるそうです。
ですが、このことが書いてあるのでは、ペアノの公理の m' = n' → m = n を証明する1つのやり方として、正則性公理を使うやり方があるという注意書きの中です。

これを使えば証明できますが、ともかく、3つのうちの一つのみが成り立つことには一切触れられていません。

なんかこれは公理（例えば正則性公理）を使わないと証明できないような気がします。

ペアノの公理の m' = n' → m = n については、正則性公理を使わない証明法が紹介されています。

「
定理2.9 三分律 m < n ∨ m = n ∨ n < m が成り立つ。
」

の証明をまだ読んでいないのですが、もしかしたら、その証明から簡単に3つのうちの一つのみが成り立つことも分かるかもしれません。
あとで読んでみます。

>>256
そりゃそういう定理だからだろう
他の箇所でこっそり後者の性質を使ってるところがあったの？

>>261

後者の性質を使っているところはないと思いますが、そもそもの発端は、

「
次の補題は、 < について、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示す。

補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n.
」

という記述です。

m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示すには、

m < n → 「n < m + 1」は成り立たない

ことを示す必要があると思います。

「定理2.9が三分律の3つのうち一つのみが成り立つ」という定理だったとしたら、↑このことが示せます。


質問を整理すると、

m < n → 「n < m + 1」は成り立たない

ことを示すには、新たな公理が必要なのではないか？

という質問です。

別の言い方をすると、

「補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n.」

↑これが示せたからと言って、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示したことにはならないのではないか？

松坂和夫著『代数系入門』の後ろのところに証明が載っているようなので、見てみようと思います。

>>262
a<bの定義ってb≦aの否定じゃないの？
読んでないから知らんけど

「m ∈ n かつ n ∈ m」が成り立たないことを
一般の集合 n,m に対して示そうとすると、
正則性公理(あるいはその代替)が必要になる。

しかし、ωを最小の極限順序数(いわゆる自然数)とするとき、
n,m∈ω の場合なら、そういう公理は必要なくて、
普通に証明できる。

今回はωの話だからωに限定しているが、一般には、
n,m が順序数であれば、余計な公理を増設せずに証明できる。

証明のやり方は超限帰納法を使うのだが、
先に順序数のいくつかの性質を証明しておく必要があるので、
そんなすぐに証明できるものではない。

ωに限定した場合の証明は、ωまでの超限帰納法(＝通常の数学的帰納法)
を使えばよいが、これも、先にいくつかの性質を証明しておく必要がある。

n<m→n+1≦m とし m< a< m+1 とする
m<a より m+1≦a
∴ a<a

>>255
>補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n.
これが証明されてるんなら
m<k<m+1となる自然数が存在するとすると矛盾になるでしょ
m<kからm+1≦k<m+1になるよ

てか+1の定義からほぼほぼ自明だけどね

もう少し集合論の勉強を勧めたら、超限帰納法、超限帰納法による関数の定義、その応用として順序数の和・積・べき、基数の定義、集合の階層、へと進めるぞ

>>265
それを証明しなければなりません。

>>266-267

ありがとうございます。

>>268
>>269-270

∀x (x < x でない) ことを証明しなければなりません。

x < x と仮定して矛盾を導く。

仮定より、 x ∈ x でない。

A := {x : x ∈ x でない} とおく。

∅ ∈ ∅ でないから、 ∅ ∈ A である。
x ∈ A とする。
x ∈ x でない。

x' = x ∪ {x} ∈ x ∪ {x} と仮定して矛盾を導く。

x ∈ x でないから x ∪ {x} ≠ x
よって、 x ∪ {x} ∈ x である。

どうやって矛盾を導きますか？

>>271

ありがとうございます。

訂正します：

>>265
それを証明しなければなりません。

>>266-267

ありがとうございます。

>>268
>>269-270

∀x (x < x でない) ことを証明しなければなりません。

A := {x : x ∈ x でない} とおく。

∅ ∈ ∅ でないから、 ∅ ∈ A である。
x ∈ A とする。
x ∈ x でない。

x' = x ∪ {x} ∈ x ∪ {x} と仮定して矛盾を導く。

x ∈ x でないから x ∪ {x} ≠ x
よって、 x ∪ {x} ∈ x である。

どうやって矛盾を導きますか？

>>271

ありがとうございます。

訂正します：

>>265
それを証明しなければなりません。

>>266-267

ありがとうございます。

>>268
>>269-270

∀x (x ∈ N → x < x でない) ことを証明しなければなりません。

A := {x : x ∈ x でない} とおく。

∅ ∈ ∅ でないから、 ∅ ∈ A である。
x ∈ A とする。
x ∈ x でない。

x' = x ∪ {x} ∈ x ∪ {x} と仮定して矛盾を導く。

x ∈ x でないから x ∪ {x} ≠ x
よって、 x ∪ {x} ∈ x である。

どうやって矛盾を導きますか？

>>271

ありがとうございます。

訂正します：

>>265
それを証明しなければなりません。

>>266-267

ありがとうございます。

>>268
>>269-270

∀x (x ∈ N → x < x でない) ことを証明しなければなりません。

A := {x ∈ N : x ∈ x でない} とおく。

∅ ∈ ∅ でないから、 ∅ ∈ A である。
x ∈ A とする。
x ∈ x でない。

x' = x ∪ {x} ∈ x ∪ {x} と仮定して矛盾を導く。

x ∈ x でないから x ∪ {x} ≠ x
よって、 x ∪ {x} ∈ x である。

どうやって矛盾を導きますか？

>>271

ありがとうございます。

>>266-267

{x ∈ N : x ∈ x でない} = N であることを証明するのは、やはりそんなに簡単ではないということみたいですね。

田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』

この集合論の紹介的な本で↓を証明していないのは結構面倒だからではないかと思います。

m < n ∨ m = n ∨ n < m の一つのみが成り立つ。

>>277
お前って人に感謝できるようになったん？

あ、Karel Hrbacek and Thomas Jech著『Introduction to Set Theory』という本に以下の演習問題がありました。

Exercise 1.1 x ⊂ S(x) and there is no z such that x ⊂ z ⊂ S(x) という演習問題がありました。

ということは簡単なんだと思います。

S(x) = x ∪ {x} です。

>>279

訂正します：

あ、Karel Hrbacek and Thomas Jech著『Introduction to Set Theory』という本に以下の演習問題がありました。

Exercise 1.1 x ⊆ S(x) and there is no z such that x ⊂ z ⊂ S(x) という演習問題がありました。

ということは簡単なんだと思います。

S(x) = x ∪ {x} です。

x と S(x) では後者が前者よりも元の数が1つだけ多いですね。

あ、それをいうためには x ∈ x でないことを言わないとダメですね。

>>272
>∀x (x < x でない) ことを証明しなければなりません。
<の定義が与えられたらすぐと思うよ
その本でのは？

m, n ∈ N とする。
m < n の定義は m ∈ n です。

>>284
ならx∈xとなれば無限降下列ができて集合じゃ無いからでお仕舞いでは？

>>285

それは何か公理を使っていますよね。
この本では、問題の箇所のところまでに登場している公理は帰納的な集合が存在するという公理のみです。

あるいは
x<x∈Nである集合xの全体を考えると
空でなければ最小があるけれど
0<0は成り立たないのでxは0でなくて
x=y+1とするとy<yも成立するから矛盾とかでも？

>>286
じゃあまあ頑張ってね
ZFCを何処まで弱めて何が言えるかは
アブストラクトナンセンスの典型じゃないかなと思うので
考える気力沸かないなあ

>>287

N の部分集合が空でなければ最小元を持つということも問題の箇所までで証明していません。

Karel Hrbacek and Thomas Jech著『Introduction to Set Theory』という本に以下の演習問題があったので、その前のところを読めばどんな公理が必要かは分かると思います。
ですので、この本を少し読んでみようと思います。

Exercise 1.1 x ⊆ S(x) and there is no z such that x ⊂ z ⊂ S(x)

田中さんらの本はあくまで自然数の話をどうやって集合論を使ってするかということの紹介を目的にしているので記述が中途半端になっているのかもしれません。

Σ(n/(n+1))^n は収束しますか？発散しますか？　Σはnが自然数を動く時の和です。

>>275
定義を聞いてるんだけど、
a<bの定義が
a≧bでないことなら何もやることはないし
a≦bでa≠bなら示すべきことは≦の反対称律だけじゃん

>>292
段々1/eになっていく総和だから発散

集合 A に対する命題 P(A) を以下のように定義する。

P(A)：φ∈A かつ (∀x∈A s.t. x∪{x}∈A).

自然数全体の集合 N が次の性質を持つことは既知とする。

(1) P(N) は真である。
(2) ∀A⊂N s.t. ( (A≠φ かつ P(A)) ⇒ A＝N ).

(2)は、いわゆる数学的帰納法である。

定義：
x∈N に対して S(x)＝x∪{x} と置く。
x∈S(x) かつ {x}⊂S(x) かつ x⊂S(x) が
成り立つことに注意せよ。

補題1：
A は N の空でない任意の部分集合とする。
このとき、次が成り立つ。

∃a_0∈A, ∀a∈A s.t. ¬(a∈a_0).

証明：
B＝{ x∈N｜x∩A＝φ } と置く。明らかに φ∈B である。もし

∀b∈B s.t. S(b)∈B …(1)

が成り立つなら、Nにおける数学的帰納法の原理から、B＝N となる。
すなわち、任意の x∈N に対して x∩A＝φ となる。
しかし、Aは空でないから、a∈A を1つ取れば、
a∈{a}⊂S(a) に注意して、a ∈ S(a)∩A となる。
すなわち、S(a)∩A≠φである。また、a∈A⊂N により、S(a)∈N である。
よって、x＝S(a) に対して、

・ x∈N かつ x∩A≠φ

である。これは矛盾。よって、(1)は成り立たない。
よって、ある b∈B に対して¬(S(b)∈B) である。
b∈B なので b∩A＝φである。また、b∈N なので S(b)∈N であり、
これと ¬(S(b)∈B) から、S(b)∩A≠φである。(続く)

今の段階で、

・ b∈N, b∩A＝φ, S(b)∩A≠φ

が成り立っている。実は b∈A が成り立つ。
実際、S(b)＝b∪{b} なので、S(b)∩A≠φ により
(b∪{b})∩A≠φである。b∩A＝φだったから、
{b}∩A≠φである。よって、b∈A である。

さて、a∈A を任意に取る。もし a∈b ならば、
これと a∈A から a∈A∩b となるが、
A∩b＝φだったから矛盾。よって、¬(a∈b) が
成り立つ。以上により、この b が求める a_0 である。■

定理1：∀x,y∈N s.t. (¬(x∈y) または ¬(y∈x)).

証明：x,y∈N を任意に取る。A＝{x,y} と置き、
この A に対して補題1を適用すればよい。

定理2：∀z∈N s.t. (¬(z∈z)).

証明：定理1で x＝z, y＝z を適用すればよい。

(オマケ)
定理3：¬(N∈N).

証明：以下の証明はトンチのような証明であり、とても気持ち悪い。
もし N∈N が成り立つなら、x＝N に対して
x∈N となるので、定理2 から ¬(x∈x) が成り立つ。
x＝N だったから、¬(N∈N) が成り立つ。
しかし、N∈N だったから矛盾する。
以上により、¬(N∈N) が成り立つ。

>>293
標準的な構成における N においては、
≦ よりも先に狭義の順序 ＜ を定義するのが普通である。
そして、ここでの狭義の順序 ＜ は以下のように定義される。

・ x＜y ⇔_{def} x∈y.

ひとたび ＜ が定義されれば、≦ は以下のように定義される。

・ x≦y ⇔_{def} (x＜y または x＝y).

なお、二項関係 ＜ が以下の性質を満たすときに、
＜ のことを狭義の順序と呼ぶ。

(1) ¬(x＜x).
(2) x＜y ⇒ ¬(y＜x).
(3) (x＜y かつ y＜z) ⇒ x＜z.

従って、＜ のことを狭義の順序として使いたいなら、
その ＜ が上記の(1)〜(3)を満たすことを証明する必要がある。

今回の例では、x∈y のことを x＜y と定義していたので、
次が成り立っていることを証明しておく必要がある。

(1) ∀x∈N s.t. ¬(x∈x).
(2) ∀x,y∈N s.t. (x∈y ⇒ ¬(y∈x)).
(3) ∀x,y,z∈N s.t. ((x∈y かつ y∈z) ⇒ x∈z).

これが証明できていなければ、
x∈y のことを x＜y と表記する正当性がない。
…というより、(1)〜(3)を証明するよりも前の段階で
無理やり x＜y と書いてみたところで、その ＜ が
上記の (1)〜(3) を満たすことが まだ証明できてないのだから、
いわゆる ＜ の性質が何も使役できず、絵に描いた餅になる。

そして、>>295-299では(1)のみ証明していることになる。
(2)と(3)は、これまた別の数学的帰納法で
ちまちま証明していくことになる。

>>294
ありがとうございます。コーシーの判定法のあとに出題されたので思考がそっちに固まっていました。

いや、(2)は>>299の定理1そのものか。
(3)は別の帰納法が必要のはず。

>>295-299

ありがとうございました。
ところで、「s.t.」の使い方がよく分かりませんでした。このような使い方は一般的なんですか？

補題1:

∅ ≠ A ⊂ N とする。
∃a0 ∈ A such that a ∉ a0 for any a ∈ A が成り立つ。

証明:

B := {x ∈ N : x ∩ A = ∅} とおく。
∃b ∈ B such that S(b) ∩ A ≠ ∅ が成り立つことを背理法で以下に示す。
S(b) ∩ A = ∅ for any b ∈ B が成り立つと仮定する。
S(b) ∈ B for any b ∈ B が成り立つ。

数学的帰納法により、 B = N である。
したがって、 x ∩ A = ∅ for any x ∈ N が成り立つ。
A ≠ ∅ だから ∃a ∈ A.
a ∈ S(a) だから、 S(a) ∩ A ≠ ∅ である。
よって、 S(a) ∉ B = N である。
一方、 a ∈ A ⊂ N だから、 S(a) ∈ N である。
これは矛盾である。
よって、 ∃b ∈ B such that S(b) ∩ A ≠ ∅ が成り立つ。

b ∈ B = {x ∈ N : x ∩ A = ∅} だから、
b ∈ N かつ b ∩ A = ∅ かつ S(b) ∩ A ≠ ∅ である。
∅ ≠ S(b) ∩ A = (b ∪ {b}) ∩ A = (b ∩ A) ∪ ({b} ∩ A) = ∅ ∪ ({b} ∩ A) = {b} ∩ A である。
よって、 b ∈ A である。
a ∉ b for any a ∈ A が成り立つことを背理法で以下に示す。
∃a ∈ A such that a ∈ b が成り立つと仮定する。
すると、 a ∈ b ∩ A であるが、これは b ∩ A = ∅ に矛盾する。
よって、 a ∉ b for any a ∈ A が成り立つ。
a0 := b とおけば、 a0 ∈ A かつ a ∉ a0 for any a ∈ A である。

定理1:

x ∉ x for any x ∈ N が成り立つ。

証明:

x ∈ N とする。
A := {x} とする。
∅ ≠ A ⊂ N である。
補題1により、 ∃a0 ∈ A such that a ∉ a0 for any a ∈ A が成り立つ。
すなわち、 ∃a0 ∈ {x} such that a ∉ a0 for any a ∈ {x} が成り立つ。
a0 = x であり、 x ∈ {x} であるから、 x ∉ x である。

補題1は自然数の空でない部分集合には極小元が存在するという命題ですね。

>>300
それならx≦yがx⊂yと同値なことを示すだけで、x<yとx≧yでないが同値であることはすぐ分かるんじゃないの？

>>310

x＜y ⇔_{def} x∈y.
x≦y ⇔_{def} (x＜y または x＝y).

この定義から出発した場合に x≦y と x⊂y の
同値性を示すなら、それはつまり
「x∈y または x＝y」と「x⊂y」が
同値であることを示すということ。

もちろん、これは示せる。
だが、それはそれで別の面倒くさい帰納法が必要。

ちなみに、それが示せたとしても、

(*)「x<yとx≧yでないが同値である」

はすぐには分からない。
実際、UTyjqEFh が期待するところの同値性を
加味した上で、(*)は

(**)「x∈y」と「 x⊃y でない 」が同値である

という意味になる。
この(**)が「すぐに分かる」というのはおかしい。
実際に同値性を検証してみれば分かる。

実際に(**)の同値性を検証してみよう。

x∈y が成り立つとする。x⊃y でないことを示したい。
背理法を使う。もし x⊃y ならば、これと x∈y から、
x∈y⊂x すなわち x∈x となる。

↑このように、(**)の同値性を示す途中で x∈x に遭遇してしまう。
よって、先に ¬(x∈x) が証明できてなければならない。

しかし、¬(x∈x) を証明するより先に
「(**)なら簡単に示せるはず」というのが
UTyjqEFh の戦略だったはずだから、これでは企画倒れ。

アスペにマジレスしてもスルーされるに10ペリカ

それでは、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを証明します。

∃m, n ∈ N such that m < n < m + 1 が成り立つと仮定する。

補題2.8により、 m < n → m + 1 ≦ n が成り立つ。
m + 1 = n が成り立つとすると、 m + 1 = n < m + 1 となり矛盾するから、 m + 1 ≠ n である。
よって、 m + 1 < n が成り立つ。 n < m + 1 だから、定理2.6（推移律）により、 m + 1 < m + 1 となり矛盾する。
よって、 m < n < m + 1 を満たすような m, n ∈ N は存在しない。

き
ち
が
い
全
開
中

>>313
それもまだ示せてないなら、そっちから先に証明しとけばいいだろ

以下の暗号を解いてXに当てはまるものを推論してください。(最初の-は関係ないです)
- 1○3 ⇒ 60
- 1○4 ⇒ 90
- 11○6 ⇒ 210
- 12○2 ⇒ 60
- 9○8 ⇒ X

X=60
X=240
X=330
X=420
のうち、どれが正解？

>>318
くだらない問題もとむでどうぞ

>>317
ナンセンス。

「 ¬(x∈x) を先に証明しとけばいい」

ということなら、それは今までの文脈を全く理解してない。
まず、発端となった ID:8e/gxRJc は、

「 ¬(x∈x) が証明できれば全ての疑問点が解消される 」

という部分までは自力で到達していて、

(**)「じゃあ ¬(x∈x) はどうやって証明するの？」

という問題を質問してたんだよ(>>275)。
ここまでが話の前提なわけ。

で、この文脈において、君は今回、>>317において

「 ¬(x∈x) を先に証明しとけばいい」

と発言したわけ。しかし、まさにその部分を(**)で
質問してるのが話の前提なんだよ。つまり君は、

「どうやって ¬(x∈x) を証明すればいいの？」

という質問に対して、

「 ¬(x∈x) を先に証明しとけばいい 」

と回答したことになるわけで、
それじゃ何の回答にもなってないし、
これまでの文脈を全く理解してないし、問題外でしょ。

ちなみに、

「どうやって ¬(x∈x) を証明すればいいの？」

という質問に対して、 まさしく ¬(x∈x) を
直接証明しているのが>>295-299なので、
この時点で話は終わっている。

実際、発端となった ID:8e/gxRJc は、
>>295-299を読んで納得し、彼なりに証明を清書して、
彼の中ではもう解決済みになっている。

一方で、この>>295-299のアプローチとは別に、ID:UTyjqEFh は

「 >>310のように考えても解決するのでは？」

と言っていたわけ。となれば、文脈上は、

「>>310が先に示せれば、それで ¬(x∈x) が証明できるぞ」

と言っていることになる。あるいは、

「>>310が先に示せれば、¬(x∈x) を使わずに疑問点が解消するぞ」

と言っていることになる。

ところが、フタを開けてみれば、>>310の方針を完遂するためには、

「 ¬(x∈x) を先に証明しなければならない 」

ことが発覚している。この時点で、
>310の方針は企画倒れとなる。君はそこで、

「それなら ¬(x∈x) を先に証明すればいい」

と反論したわけだが、それだと、

「どうやって ¬(x∈x) を証明すればいいの？」

という質問に対して

「 ¬(x∈x) を先に証明すればいい」

と返答したことになってしまうので、問題外である。

アスペは釣られたオッサンたちの回答には納得せず洋書を見つけてきて凄いですねというよｗ

件の人は∀x(¬x∈x)を公理として使うのでは無く
Nの構成法だけから∀x∈N(¬x∈x)を示したいんだろうが
できると思うけどできたところでどうでもよくない？

定規とコンパスだけで初等幾何証明するよりも不毛感

>>323
何を問題にしてるのかさっぱりわからん

Sx∈Sxならばx∈xで、∅∉∅なんだから、x∉xなのは当たり前じゃん

>>329
＞Sx∈Sxならばx∈xで

そこが簡単には言えないから>>295-299のようにするってこと。
まあ>>295-299以外にも方法はあるけどね。

>>329
＞Sx∈Sxならばx∈xで

S(x)∈S(x)とする。x∈x を示したい。

まず、x∪{x}∈x∪{x} である。
x∪{x}∈{x} の場合は、x∪{x}＝x である。
すると、x∈{x}⊂x∪{x}＝x となるので、
x∈x に到達する。

問題は x∪{x}∈x の場合で、
ここから即座に x∈x に到達することはできなくて、
先に他の性質を示しておかなければならない。
だから普通は>>295-299のようにする。

>>326
「できると思うが」じゃなくて実際にできる(>>295-299)。
そして、発端となった ID:8e/gxRJc が、
まさしく「できるかできないか」を質問している。

その質問自体が不毛と言えば不毛だが、
できるのに「不毛」とか「出来たところでどうでもよくない？」
で済ませるのはちょっとね。

君がそういう感想を持つのは自由だが、
他人もそういう感想で済ませるべきってのは違うでしょ。

>>331
x∈x∪{x}∈xなんだから、後者の場合もx∈xだろ

>>332
※個人の感想です

>>333
簡単のため、y＝x∪{x} と置くと、

＞x∈x∪{x}∈xなんだから、

この部分は「 x∈y∈x 」と言っていることになる。
で？なぜここから「 x∈x 」が導出されるんだ？
いや、実際にそこから x∈x を導出することは可能だが、
そのためには ∈ に関する推移率、すなわち

∀x,y,z∈N s.t. ((x∈y かつ y∈z) ⇒ x∈z)

を先に証明しておかなければならない。
ほらね、自明じゃないでしょ。

>>332
>できるのに「不毛」とか「出来たところでどうでもよくない？」
>で済ませるのはちょっとね。
あと
件の人は
他人にそれをやらせたいだけだと思うよ
自分ではわからないのか
わかっていて質問めいたものを書いているのかはわからないけど

米個人の感想です

>>333
念のために言っておくけど、

(1) x ∈ y ⊂ z ならば x∈z
(2) x ∈ y ∈ z ならば x∈z

この2つのうち、(1)は自明だけど、
(2)は自明じゃないからね。

というか、x,y,z が一般の集合だと、
(2)は必ずしも成り立たないからね。

>>335
だから結局、x≦yとx⊂yが同値であることに帰着するじゃん

>>339
それはつまり、「x∈y または x＝y」と「x⊂y」が
同値であることを示すということ。もちろん、これは示せる。
だが、それはそれで別の帰納法が必要。
それらを全て前提とした上で

＞Sx∈Sxならばx∈xで、∅∉∅なんだから、x∉xなのは当たり前じゃん

と発言しているなら、確かに ¬(x∈x) は「当たり前」になる。
だが、発端となった質問は

「 ¬(x∈x)をどうやって証明するのか」

ということ。これに対して、君は件の同値性を前提とした上で
「当たり前だ」としか言ってないことになる。

>>340
何いってんの？

>>341
x≦yとx⊂yが同値であることは自明ではなく、
証明が必要であり、君はその証明を提示していない。

ここまではOK？

>>342
だから何？

>>343
じゃあ x≦y と x⊂y の同値性を証明してみてよ。
正しく証明できたら、それはそれで

「 ¬(x∈x)をどうやって証明するのか？」

に対する別の証明法を君が提示できたことになる。

>>344
なんでそんなことしなきゃいかんの？

>>345
なんだ、自分では証明する気がないくせに、
横から口を挟んでテキトーなことを言ってただけか。

意味がわからん

ここまでのまとめ。

君：Sx∈Sxならばx∈xで、∅∉∅なんだから、x∉xなのは当たり前 (>329)

俺：「S(x)∈S(x)ならばx∈x」は簡単には示せない。
実際、「x∈y∈x」から「x∈x」を導出する部分に
大きなギャップがある。(>335)

君：そこはx≦yとx⊂yの同値性を使えばいいじゃん。(>339)

俺：x≦yとx⊂yが同値であることは自明ではなく、証明が必要。
そして、君は証明してない。今この場で証明してよ。(>344)

君：なんでそんなことしなきゃいかんの？(>345)

俺：なんだ、自分では証明する気がないくせに、
横からヤジを飛ばしてただけか。(>346)

君：意味がわからん(>347)

x∈y∈z⇒x∈zは至る所で必要になるけど、よく見たらy∈z⇒y⊂zのことなんだから、ℕを定義したら初っ端に証明しとけばいいじゃん
これに何の問題があるのか

彼が何に文句言ってるのかわからん。
誰か教えてくれ

明らかに、意味が分からないのは君の方。

君が自分で披露した中途半端な証明にはギャップが
存在していて、そのギャップを埋めるのには

「x≦yとx⊂yが同値」

という別の非自明な結果が必要で、
君は結局、そっちを証明する気がないのだから、
これではギャップを埋めたことにならない。

もしかしたら、

「自分で証明しなくても、そのへんの教科書に載ってるだろ」

と言いたいのかもしれない。
しかし、それなら ¬(x∈x) の証明だって教科書に載っている。
つまり、「教科書に載ってるだろ」というスタンスを持ち出すなら、
中途半端に

「Sx∈Sxならばx∈xで、∅∉∅なんだから、x∉xなのは当たり前」

なんていう "証明" を披露する必要がなくて、
最初から「教科書をよめ」の一言だけで終わっていた話。

何がしたいのか意味不明。

なんなの？
最初にあの同値を示す手順で進めるのに何か問題があるの？
定理を並べる順序に文句があるわけ？

>>349
＞よく見たらy∈z⇒y⊂zのことなんだから、
＞ℕを定義したら初っ端に証明しとけばいいじゃん

実際、「x∈y∈x」から「x∈x」を導出する部分については
「y∈z⇒y⊂z」だけで行ける。従って、君が「y∈z⇒y⊂z」の
証明をここに披露するのであれば、それはそれで

「 ¬(x∈x)をどうやって証明するのか？」

に対する別の証明法を君が提示できたことになる。
逆に、「y∈z⇒y⊂z」の証明を披露しないのであれば、
やはり君の言動は意味不明なものになる。

「面倒くせえよ。そのくらい教科書に載ってるだろ」

と言いたいのであれば、まあ実際に教科書に載ってるだろうが、
それなら ¬(x∈x) の証明だって教科書に載ってるわけで、
君が中途半端に披露したギャップつきの証明は
最初から披露する必要がなくて、
全て「教科書よめ」で終わっていた話になる。

>>353
＞最初にあの同値を示す手順で進めるのに何か問題があるの？

その同値性は自明ではないので、証明が必要。
そして、君は証明する気がない。
つまり、君の証明はギャップを抱えたまま。

「どこがギャップなんだ。教科書に載ってる事実なんだから、
　疑いようがないだろ」

と言いたいのかもしれないが、それなら ¬(x∈x) そのものが
教科書に載ってる事実である。つまり、君は中途半端に
¬(x∈x) のギャップつき証明を披露する必要がなくて、
最初から全て「教科書よめ」と言っていればよかったということ。

>>355
残りの手順が明確になることに文句はないんでしょ
残りの順序の性質が全部出てくる便利な定理なんだから自明なわけがないし
非自明なところに文句言われても知らんがなとしか言いようがない

>>356
では、もう1つ問題点を挙げよう。君が証明なしで提示した

「非自明で便利な結果」

は、それを証明する過程で ¬(x∈x) という
性質が必要になる可能性がある。
もし ¬(x∈x) が必要なら、君の提示した証明手法は
¬(x∈x) の証明には使えないことになる(循環論法になるから)。

そして君は、このような問題が起きてないこと、
すなわち、その「非自明で便利な結果」には
¬(x∈x) という性質を使わずに証明が済むことを示してない。

ここだけ考えても、君のやり方はダメ。
結局、面倒くさがって証明をサボるスタイルはアウト。

>>357
可能性があるってだけで文句言わないでよ

>>358
君の方で可能性を潰してない時点で、証明としては欠陥品でしょ。

>>331
>S(x)∈S(x)とする。x∈x を示したい。
n+1∈n+1={0,1,…,n}
n+1=k∈{0,1,…,n}
n∈n+1=k={0,1,…,k-1}⊂{0,1,…,n-1}=n

>>359
証明は勝手にやれよ

>>361
つまり君は、正式な証明を提示したのではなく、
軽いノリで1つの「アイデア」を提示しただけ、ということになる。

内部で循環論法が発生してなければ正式な証明になるが、
循環論法が発生していれば証明として機能しない失敗作になる。

そういった危うい「アイデア」を提示しただけで、
正式な証明になっているかは君自身でも把握してないと。

それでOK？

>>361
君が>>329で書いた

＞ Sx∈Sxならばx∈xで、∅∉∅なんだから、x∉xなのは当たり前じゃん

この発言も、正式な証明ではなくて、ただの「アイデア」に過ぎないと。
本当は循環論法の可能性があって、その場合は失敗作になってしまうと。
そして、循環論法が内包されてないことは、君自身でも確認してないと。

そして、「厳密な証明は勝手にやってくれ」と、
こちらに丸投げしている状態だと。

それでＯＫ？

自分で証明してみてどうしてもできなかったらその時に言ってくれ

>>364
じゃあ教えてあげるけど、君のやり方は循環論法だよ。

「そんなバカな」

と思うなら、君が想定している証明を書いてごらん。

>>365
そうなんだ。よかったね

>>366
残念だったね。

非自明な結果に対しては証明せずに逃げ回って、
自明な結果だけを かいつまんで証明した気分になっている、
そんなダメ人間である君に、一体誰が詳細を教えてくれるんだ？
俺はそこまで親切じゃないよ。

それでも、「循環論法だよ」とだけは教えてあげる。
あとは自分の頭を使って考えるんだな。

ま、君はそれでも自力で検証する気はないんだろうけど、
結局、こういう中途半端なダメ人間は、

「循環論法」

という事実を突きつけられても何の危機感もなくて、
>>366のようにヘラヘラしているだけなんだよな。
お里が知れるね。

それで満足した？

>>369
満足もなにも、君の方から異論が無いのだから、
この話はここで終わりでしょ。
君はここが限界だった、というだけのこと。

君の方こそ、それで満足なら、
もうお互いに話す内容は無いよね。

>>370
君が勝手にタラタラ文句たれてただけじゃん

>>371
え？まだやるの？
異論があるのかないのか、どっちなんだ？

君の証明法が循環論法になってないことを
君自身が確認してないことは事実だろ？
つまり君は、正式な証明を提示したのではなく、
軽いノリで1つの「アイデア」を提示しただけだろ？
君自身が確認してない以上、そういう構図にしかならないだろ？

そして、そのアイデアは循環論法で失敗作だったと。
このことに何の異論があるの？

>>372
君が循環論法だと信じてるならそれでいいじゃん

>>373
そういう君は、循環論法ではないことを君自身では確認してないのに、
「きっと循環論法ではなく、うまく行っている」と信じてるわけでしょ。

それ、正式な証明とは呼べなくて、
軽いノリで1つの「アイデア」を提示しただけだよ。
そういう構図にしかならないよ。

それでも君は、「きっと循環論法ではない」と信じてる状態なんでしょ。
君の方こそ、それで満足なら、それでいいんじゃないの。
まあ実際は循環論法なんだけど。

>>374
「こんな感じで証明してみたんですが、循環論法になってしまって困ってます」でしょ
しるか

>>375
おかしいな。君は>>364で

＞自分で証明してみてどうしてもできなかったらその時に言ってくれ

と発言していたよな。君が言うところの

「こんな感じで証明してみたんですが、循環論法になってしまって困ってます」

とは、まさに

＞自分で証明してみてどうしてもできなかったらその時に言ってくれ

の状態じゃないか。
それなのに、君が発したセリフは「しるか」だけ。何それ。

どうやら君は、「正式な証明ではなく、アイデアにすぎない」
と指摘されるのが気に食わないらしいな。

かといって、自分で厳密に証明をつけることもしない。
「循環論法だよ」と事実を指摘されても、
明確に反論せず、ヘラヘラするだけ。
あるいは「しるか」の一言で逃げ回る。

プライドだけが一人前のダメ人間だね。

「非自明な結果から逃げずに、自分で証明をつけてねじ伏せる」

という中身が伴ってない。

拗らせたクレクレ君にしか見えねえ