A, B を可算無限な全順序集合で最大元、最小元を持たず稠密であるとする。
A と B は順序同形である。

この定理の証明でカントールの往復論法という論法が使われています。

この癖のある論法を使う理由は、全射であることを保証するためですか？

A = {a_1, a_2, …}
B = {b_1, b_2, …}

とする。

c_1 := b_1 とする。

a_1 < a_2 ならば i ∈ {i : b_1 < b_i} とし、 c_2 := b_i とする。
a_1 > a_2 ならば i ∈ {i : b_1 > b_i} とし、 c_2 := b_i とする。

a_1, a_2 を昇順にソートしたものを新しく a_1, a_2 とする。
c_1, c_2 を昇順にソートしたものを新しく b_1, b_2 とする。

a_2 < a_3 ならば i ∈ {i : b_2 < b_i} とし、 c_3 := b_i とする。
a_3 < a_1 ならば i ∈ {i : b_i < b_1} とし、 c_3 := b_i とする。
a_1 < a_3 < a_2 ならばi ∈ {i : b_1 < b_i < b_2} とし、 c_3 := b_i とする。

a_1, a_2, a_3 を昇順にソートしたものを新しく a_1, a_2, a_3 とする。
c_1, c_2, c_3 を昇順にソートしたものを新しく b_1, b_2, b_3 とする。

これをずっと続けると、

a_i → b_i は順序を保つ A から B への写像である。

ただし、全射かどうかは分からない。