大学学部レベル質問スレ 27単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 26単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712455912/
大学学部レベル質問スレ 25単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1706199058/
大学学部レベル質問スレ 24単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703434188/
大学学部レベル質問スレ 23単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/
大学学部レベル質問スレ 22単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

>>230

帰納的定義で定義される関数が存在することは証明する必要がないということですか？
理由を教えて下さい。

新井敏康著『数学基礎論 増補版』

ってどうですか？

数理論理を勉強せずに数学基礎論を勉強することは可能ですか？

>>232
全部合併させるだけだからね
超限帰納的でもおk

>>235

全部合併させて証明するということですよね。
やはり証明は必要ということですね。

(Q, 0, +, <) と (Q^+, 1, ✕, <) は同形になるか？

>>236
必要と思った人は証明付けたら？

>>237
全然違うに決まってんじゃん

>>231
相変わらず下らない疑問しか持たないですね

>>237

以下、登場する分数はすべて既約分数であるとする。
同形写像が存在するとしてそれを F とする。
a/b := F(1) ∈ Q^+ とおく。
n を任意の正の整数とする。
F(1/n) = (a/b)^(1/n) = l/m とおく。
a * m^n = b * l^n
a がある素数 p で割り切れると仮定する。
gcd(a, b) = 1 だから l は p で割り切れる。
よって、 l^n は p^n で割り切れる。
gcd(l, m) = 1 だから a は p^n で割り切れる。
これは矛盾である。
よって、 a = 1 でなければならない。
同様にして、 b = 1 でなければならない。
よって、 F(1) = 1 でなければならない。
すると、 F(0) = 1 = F(1) となるが、 F が単射であることに矛盾する。

>>234
数学基礎論・数理論理学　その19
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/

>>229
>そもそもfを全射にできるわけないじゃん
これは言い過ぎた
そもそもfが全射になるとは限らないじゃん
で
で
番号の小さい方から選んでいけば
どれもいつかは選ばれて全射に

>>237
ジェネレータ考えたら自明

>>232
じゃあお前に聞くけど、数理論理学の本で｢論理式｣って言葉が、あんなふうにして定義されてて、それでキチンと定義がされてるものだとされる理由を答えてみ。

ZFCの中で記述された帰納的定義は、
メタ的な帰納的定義とは区別しなければいけない。

>>223はZFCの中で記述された帰納的定義なので、
この定義を満たす写像 f：N→C が
ZFC の中に存在することは、ZFC の中で証明しないとダメ。

帰納的定義を満たす写像が ZFC の中に存在することの証明は、

「東北大学情報科学研究科数学教室 第15章 自然数」

でググるとトップに出てくるpdfの定理15.3, 15.4を参照すべし。
ただし、ここでの定理 15.3, 15.4 はちょっと弱い形の定理なので、
>>223のケースでは直接当てはめることはできない。
無理やり使うことは可能のはずだが、コツがいる。

>>246
f:N→Nを定義するのに
f⊂N×Nがfn⊂n×Nの合併となるようにイメージして
fnの満たすべき条件を単独の述語Pで書いたらいい
Pを満たすN×Nの部分集合全体を考えて
それが空で無く（f1の存在）帰納的集合であると示して
極大元を取るて感じ

田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』

この本はかなりいい本だと思いますが、なぜ話題にならず絶版になったのでしょうか？

>>245
どの本のどの定義のこと言ってるんだw

アスペに釣られてさあー大変、おっさん一緒に遊びましょう

>>250
大抵の本の
令和6年6月30日的な定義のことだな

田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』

第2章の自然数の理論のところですが、結局これどうやって示すんだろう？という根本的なところは公理にしてしまうんですね。
それでも、よく知っている命題がどうやって証明されるのかを見るのはつまらなくはないですが。

印象としては、よい公理を設定しているだけですね。

田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』

「
次の補題は、 < について、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示す。

補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n.
」

m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示すには、

m < n → 「n < m + 1」は成り立たない

ことを示す必要があると思いますが、どうやって示すんですか？

「
定理2.9 三分律 m < n ∨ m = n ∨ n < m が成り立つ。
」

これも3つのうち一つのみが成り立つとは書いていません。

その後のページを見ても一つのみが成り立つということは書いていません。

これで大丈夫なんですか？

のちの章で正則性公理というのが登場すると書いてあって、正則性公理によると m ∈ n かつ n ∈ m は成り立たないことが示せるそうです。
ですが、このことが書いてあるのでは、ペアノの公理の m' = n' → m = n を証明する1つのやり方として、正則性公理を使うやり方があるという注意書きの中です。

これを使えば証明できますが、ともかく、3つのうちの一つのみが成り立つことには一切触れられていません。

なんかこれは公理（例えば正則性公理）を使わないと証明できないような気がします。

ペアノの公理の m' = n' → m = n については、正則性公理を使わない証明法が紹介されています。

「
定理2.9 三分律 m < n ∨ m = n ∨ n < m が成り立つ。
」

の証明をまだ読んでいないのですが、もしかしたら、その証明から簡単に3つのうちの一つのみが成り立つことも分かるかもしれません。
あとで読んでみます。

>>256
そりゃそういう定理だからだろう
他の箇所でこっそり後者の性質を使ってるところがあったの？

>>261

後者の性質を使っているところはないと思いますが、そもそもの発端は、

「
次の補題は、 < について、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示す。

補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n.
」

という記述です。

m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示すには、

m < n → 「n < m + 1」は成り立たない

ことを示す必要があると思います。

「定理2.9が三分律の3つのうち一つのみが成り立つ」という定理だったとしたら、↑このことが示せます。


質問を整理すると、

m < n → 「n < m + 1」は成り立たない

ことを示すには、新たな公理が必要なのではないか？

という質問です。

別の言い方をすると、

「補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n.」

↑これが示せたからと言って、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示したことにはならないのではないか？

松坂和夫著『代数系入門』の後ろのところに証明が載っているようなので、見てみようと思います。

>>262
a<bの定義ってb≦aの否定じゃないの？
読んでないから知らんけど

「m ∈ n かつ n ∈ m」が成り立たないことを
一般の集合 n,m に対して示そうとすると、
正則性公理(あるいはその代替)が必要になる。

しかし、ωを最小の極限順序数(いわゆる自然数)とするとき、
n,m∈ω の場合なら、そういう公理は必要なくて、
普通に証明できる。

今回はωの話だからωに限定しているが、一般には、
n,m が順序数であれば、余計な公理を増設せずに証明できる。

証明のやり方は超限帰納法を使うのだが、
先に順序数のいくつかの性質を証明しておく必要があるので、
そんなすぐに証明できるものではない。

ωに限定した場合の証明は、ωまでの超限帰納法(＝通常の数学的帰納法)
を使えばよいが、これも、先にいくつかの性質を証明しておく必要がある。

n<m→n+1≦m とし m< a< m+1 とする
m<a より m+1≦a
∴ a<a

>>255
>補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n.
これが証明されてるんなら
m<k<m+1となる自然数が存在するとすると矛盾になるでしょ
m<kからm+1≦k<m+1になるよ

てか+1の定義からほぼほぼ自明だけどね

もう少し集合論の勉強を勧めたら、超限帰納法、超限帰納法による関数の定義、その応用として順序数の和・積・べき、基数の定義、集合の階層、へと進めるぞ

>>265
それを証明しなければなりません。

>>266-267

ありがとうございます。

>>268
>>269-270

∀x (x < x でない) ことを証明しなければなりません。

x < x と仮定して矛盾を導く。

仮定より、 x ∈ x でない。

A := {x : x ∈ x でない} とおく。

∅ ∈ ∅ でないから、 ∅ ∈ A である。
x ∈ A とする。
x ∈ x でない。

x' = x ∪ {x} ∈ x ∪ {x} と仮定して矛盾を導く。

x ∈ x でないから x ∪ {x} ≠ x
よって、 x ∪ {x} ∈ x である。

どうやって矛盾を導きますか？

>>271

ありがとうございます。

訂正します：

>>265
それを証明しなければなりません。

>>266-267

ありがとうございます。

>>268
>>269-270

∀x (x < x でない) ことを証明しなければなりません。

A := {x : x ∈ x でない} とおく。

∅ ∈ ∅ でないから、 ∅ ∈ A である。
x ∈ A とする。
x ∈ x でない。

x' = x ∪ {x} ∈ x ∪ {x} と仮定して矛盾を導く。

x ∈ x でないから x ∪ {x} ≠ x
よって、 x ∪ {x} ∈ x である。

どうやって矛盾を導きますか？

>>271

ありがとうございます。

訂正します：

>>265
それを証明しなければなりません。

>>266-267

ありがとうございます。

>>268
>>269-270

∀x (x ∈ N → x < x でない) ことを証明しなければなりません。

A := {x : x ∈ x でない} とおく。

∅ ∈ ∅ でないから、 ∅ ∈ A である。
x ∈ A とする。
x ∈ x でない。

x' = x ∪ {x} ∈ x ∪ {x} と仮定して矛盾を導く。

x ∈ x でないから x ∪ {x} ≠ x
よって、 x ∪ {x} ∈ x である。

どうやって矛盾を導きますか？

>>271

ありがとうございます。

訂正します：

>>265
それを証明しなければなりません。

>>266-267

ありがとうございます。

>>268
>>269-270

∀x (x ∈ N → x < x でない) ことを証明しなければなりません。

A := {x ∈ N : x ∈ x でない} とおく。

∅ ∈ ∅ でないから、 ∅ ∈ A である。
x ∈ A とする。
x ∈ x でない。

x' = x ∪ {x} ∈ x ∪ {x} と仮定して矛盾を導く。

x ∈ x でないから x ∪ {x} ≠ x
よって、 x ∪ {x} ∈ x である。

どうやって矛盾を導きますか？

>>271

ありがとうございます。

>>266-267

{x ∈ N : x ∈ x でない} = N であることを証明するのは、やはりそんなに簡単ではないということみたいですね。

田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』

この集合論の紹介的な本で↓を証明していないのは結構面倒だからではないかと思います。

m < n ∨ m = n ∨ n < m の一つのみが成り立つ。

>>277
お前って人に感謝できるようになったん？

あ、Karel Hrbacek and Thomas Jech著『Introduction to Set Theory』という本に以下の演習問題がありました。

Exercise 1.1 x ⊂ S(x) and there is no z such that x ⊂ z ⊂ S(x) という演習問題がありました。

ということは簡単なんだと思います。

S(x) = x ∪ {x} です。

>>279

訂正します：

あ、Karel Hrbacek and Thomas Jech著『Introduction to Set Theory』という本に以下の演習問題がありました。

Exercise 1.1 x ⊆ S(x) and there is no z such that x ⊂ z ⊂ S(x) という演習問題がありました。

ということは簡単なんだと思います。

S(x) = x ∪ {x} です。

x と S(x) では後者が前者よりも元の数が1つだけ多いですね。

あ、それをいうためには x ∈ x でないことを言わないとダメですね。

>>272
>∀x (x < x でない) ことを証明しなければなりません。
<の定義が与えられたらすぐと思うよ
その本でのは？

m, n ∈ N とする。
m < n の定義は m ∈ n です。

>>284
ならx∈xとなれば無限降下列ができて集合じゃ無いからでお仕舞いでは？

>>285

それは何か公理を使っていますよね。
この本では、問題の箇所のところまでに登場している公理は帰納的な集合が存在するという公理のみです。

あるいは
x<x∈Nである集合xの全体を考えると
空でなければ最小があるけれど
0<0は成り立たないのでxは0でなくて
x=y+1とするとy<yも成立するから矛盾とかでも？

>>286
じゃあまあ頑張ってね
ZFCを何処まで弱めて何が言えるかは
アブストラクトナンセンスの典型じゃないかなと思うので
考える気力沸かないなあ

>>287

N の部分集合が空でなければ最小元を持つということも問題の箇所までで証明していません。

Karel Hrbacek and Thomas Jech著『Introduction to Set Theory』という本に以下の演習問題があったので、その前のところを読めばどんな公理が必要かは分かると思います。
ですので、この本を少し読んでみようと思います。

Exercise 1.1 x ⊆ S(x) and there is no z such that x ⊂ z ⊂ S(x)

田中さんらの本はあくまで自然数の話をどうやって集合論を使ってするかということの紹介を目的にしているので記述が中途半端になっているのかもしれません。

Σ(n/(n+1))^n は収束しますか？発散しますか？　Σはnが自然数を動く時の和です。

>>275
定義を聞いてるんだけど、
a<bの定義が
a≧bでないことなら何もやることはないし
a≦bでa≠bなら示すべきことは≦の反対称律だけじゃん

>>292
段々1/eになっていく総和だから発散

集合 A に対する命題 P(A) を以下のように定義する。

P(A)：φ∈A かつ (∀x∈A s.t. x∪{x}∈A).

自然数全体の集合 N が次の性質を持つことは既知とする。

(1) P(N) は真である。
(2) ∀A⊂N s.t. ( (A≠φ かつ P(A)) ⇒ A＝N ).

(2)は、いわゆる数学的帰納法である。

定義：
x∈N に対して S(x)＝x∪{x} と置く。
x∈S(x) かつ {x}⊂S(x) かつ x⊂S(x) が
成り立つことに注意せよ。

補題1：
A は N の空でない任意の部分集合とする。
このとき、次が成り立つ。

∃a_0∈A, ∀a∈A s.t. ¬(a∈a_0).

証明：
B＝{ x∈N｜x∩A＝φ } と置く。明らかに φ∈B である。もし

∀b∈B s.t. S(b)∈B …(1)

が成り立つなら、Nにおける数学的帰納法の原理から、B＝N となる。
すなわち、任意の x∈N に対して x∩A＝φ となる。
しかし、Aは空でないから、a∈A を1つ取れば、
a∈{a}⊂S(a) に注意して、a ∈ S(a)∩A となる。
すなわち、S(a)∩A≠φである。また、a∈A⊂N により、S(a)∈N である。
よって、x＝S(a) に対して、

・ x∈N かつ x∩A≠φ

である。これは矛盾。よって、(1)は成り立たない。
よって、ある b∈B に対して¬(S(b)∈B) である。
b∈B なので b∩A＝φである。また、b∈N なので S(b)∈N であり、
これと ¬(S(b)∈B) から、S(b)∩A≠φである。(続く)

今の段階で、

・ b∈N, b∩A＝φ, S(b)∩A≠φ

が成り立っている。実は b∈A が成り立つ。
実際、S(b)＝b∪{b} なので、S(b)∩A≠φ により
(b∪{b})∩A≠φである。b∩A＝φだったから、
{b}∩A≠φである。よって、b∈A である。

さて、a∈A を任意に取る。もし a∈b ならば、
これと a∈A から a∈A∩b となるが、
A∩b＝φだったから矛盾。よって、¬(a∈b) が
成り立つ。以上により、この b が求める a_0 である。■

定理1：∀x,y∈N s.t. (¬(x∈y) または ¬(y∈x)).

証明：x,y∈N を任意に取る。A＝{x,y} と置き、
この A に対して補題1を適用すればよい。

定理2：∀z∈N s.t. (¬(z∈z)).

証明：定理1で x＝z, y＝z を適用すればよい。

(オマケ)
定理3：¬(N∈N).

証明：以下の証明はトンチのような証明であり、とても気持ち悪い。
もし N∈N が成り立つなら、x＝N に対して
x∈N となるので、定理2 から ¬(x∈x) が成り立つ。
x＝N だったから、¬(N∈N) が成り立つ。
しかし、N∈N だったから矛盾する。
以上により、¬(N∈N) が成り立つ。

>>293
標準的な構成における N においては、
≦ よりも先に狭義の順序 ＜ を定義するのが普通である。
そして、ここでの狭義の順序 ＜ は以下のように定義される。

・ x＜y ⇔_{def} x∈y.

ひとたび ＜ が定義されれば、≦ は以下のように定義される。

・ x≦y ⇔_{def} (x＜y または x＝y).

なお、二項関係 ＜ が以下の性質を満たすときに、
＜ のことを狭義の順序と呼ぶ。

(1) ¬(x＜x).
(2) x＜y ⇒ ¬(y＜x).
(3) (x＜y かつ y＜z) ⇒ x＜z.

従って、＜ のことを狭義の順序として使いたいなら、
その ＜ が上記の(1)〜(3)を満たすことを証明する必要がある。

今回の例では、x∈y のことを x＜y と定義していたので、
次が成り立っていることを証明しておく必要がある。

(1) ∀x∈N s.t. ¬(x∈x).
(2) ∀x,y∈N s.t. (x∈y ⇒ ¬(y∈x)).
(3) ∀x,y,z∈N s.t. ((x∈y かつ y∈z) ⇒ x∈z).

これが証明できていなければ、
x∈y のことを x＜y と表記する正当性がない。
…というより、(1)〜(3)を証明するよりも前の段階で
無理やり x＜y と書いてみたところで、その ＜ が
上記の (1)〜(3) を満たすことが まだ証明できてないのだから、
いわゆる ＜ の性質が何も使役できず、絵に描いた餅になる。

そして、>>295-299では(1)のみ証明していることになる。
(2)と(3)は、これまた別の数学的帰納法で
ちまちま証明していくことになる。

>>294
ありがとうございます。コーシーの判定法のあとに出題されたので思考がそっちに固まっていました。

いや、(2)は>>299の定理1そのものか。
(3)は別の帰納法が必要のはず。

>>295-299

ありがとうございました。
ところで、「s.t.」の使い方がよく分かりませんでした。このような使い方は一般的なんですか？

補題1:

∅ ≠ A ⊂ N とする。
∃a0 ∈ A such that a ∉ a0 for any a ∈ A が成り立つ。

証明:

B := {x ∈ N : x ∩ A = ∅} とおく。
∃b ∈ B such that S(b) ∩ A ≠ ∅ が成り立つことを背理法で以下に示す。
S(b) ∩ A = ∅ for any b ∈ B が成り立つと仮定する。
S(b) ∈ B for any b ∈ B が成り立つ。

数学的帰納法により、 B = N である。
したがって、 x ∩ A = ∅ for any x ∈ N が成り立つ。
A ≠ ∅ だから ∃a ∈ A.
a ∈ S(a) だから、 S(a) ∩ A ≠ ∅ である。
よって、 S(a) ∉ B = N である。
一方、 a ∈ A ⊂ N だから、 S(a) ∈ N である。
これは矛盾である。
よって、 ∃b ∈ B such that S(b) ∩ A ≠ ∅ が成り立つ。

b ∈ B = {x ∈ N : x ∩ A = ∅} だから、
b ∈ N かつ b ∩ A = ∅ かつ S(b) ∩ A ≠ ∅ である。
∅ ≠ S(b) ∩ A = (b ∪ {b}) ∩ A = (b ∩ A) ∪ ({b} ∩ A) = ∅ ∪ ({b} ∩ A) = {b} ∩ A である。
よって、 b ∈ A である。
a ∉ b for any a ∈ A が成り立つことを背理法で以下に示す。
∃a ∈ A such that a ∈ b が成り立つと仮定する。
すると、 a ∈ b ∩ A であるが、これは b ∩ A = ∅ に矛盾する。
よって、 a ∉ b for any a ∈ A が成り立つ。
a0 := b とおけば、 a0 ∈ A かつ a ∉ a0 for any a ∈ A である。

定理1:

x ∉ x for any x ∈ N が成り立つ。

証明:

x ∈ N とする。
A := {x} とする。
∅ ≠ A ⊂ N である。
補題1により、 ∃a0 ∈ A such that a ∉ a0 for any a ∈ A が成り立つ。
すなわち、 ∃a0 ∈ {x} such that a ∉ a0 for any a ∈ {x} が成り立つ。
a0 = x であり、 x ∈ {x} であるから、 x ∉ x である。

補題1は自然数の空でない部分集合には極小元が存在するという命題ですね。

>>300
それならx≦yがx⊂yと同値なことを示すだけで、x<yとx≧yでないが同値であることはすぐ分かるんじゃないの？

>>310

x＜y ⇔_{def} x∈y.
x≦y ⇔_{def} (x＜y または x＝y).

この定義から出発した場合に x≦y と x⊂y の
同値性を示すなら、それはつまり
「x∈y または x＝y」と「x⊂y」が
同値であることを示すということ。

もちろん、これは示せる。
だが、それはそれで別の面倒くさい帰納法が必要。

ちなみに、それが示せたとしても、

(*)「x<yとx≧yでないが同値である」

はすぐには分からない。
実際、UTyjqEFh が期待するところの同値性を
加味した上で、(*)は

(**)「x∈y」と「 x⊃y でない 」が同値である

という意味になる。
この(**)が「すぐに分かる」というのはおかしい。
実際に同値性を検証してみれば分かる。

実際に(**)の同値性を検証してみよう。

x∈y が成り立つとする。x⊃y でないことを示したい。
背理法を使う。もし x⊃y ならば、これと x∈y から、
x∈y⊂x すなわち x∈x となる。

↑このように、(**)の同値性を示す途中で x∈x に遭遇してしまう。
よって、先に ¬(x∈x) が証明できてなければならない。

しかし、¬(x∈x) を証明するより先に
「(**)なら簡単に示せるはず」というのが
UTyjqEFh の戦略だったはずだから、これでは企画倒れ。

アスペにマジレスしてもスルーされるに10ペリカ

それでは、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを証明します。

∃m, n ∈ N such that m < n < m + 1 が成り立つと仮定する。

補題2.8により、 m < n → m + 1 ≦ n が成り立つ。
m + 1 = n が成り立つとすると、 m + 1 = n < m + 1 となり矛盾するから、 m + 1 ≠ n である。
よって、 m + 1 < n が成り立つ。 n < m + 1 だから、定理2.6（推移律）により、 m + 1 < m + 1 となり矛盾する。
よって、 m < n < m + 1 を満たすような m, n ∈ N は存在しない。

き
ち
が
い
全
開
中

>>313
それもまだ示せてないなら、そっちから先に証明しとけばいいだろ

以下の暗号を解いてXに当てはまるものを推論してください。(最初の-は関係ないです)
- 1○3 ⇒ 60
- 1○4 ⇒ 90
- 11○6 ⇒ 210
- 12○2 ⇒ 60
- 9○8 ⇒ X

X=60
X=240
X=330
X=420
のうち、どれが正解？

>>318
くだらない問題もとむでどうぞ

>>317
ナンセンス。

「 ¬(x∈x) を先に証明しとけばいい」

ということなら、それは今までの文脈を全く理解してない。
まず、発端となった ID:8e/gxRJc は、

「 ¬(x∈x) が証明できれば全ての疑問点が解消される 」

という部分までは自力で到達していて、

(**)「じゃあ ¬(x∈x) はどうやって証明するの？」

という問題を質問してたんだよ(>>275)。
ここまでが話の前提なわけ。

で、この文脈において、君は今回、>>317において

「 ¬(x∈x) を先に証明しとけばいい」

と発言したわけ。しかし、まさにその部分を(**)で
質問してるのが話の前提なんだよ。つまり君は、

「どうやって ¬(x∈x) を証明すればいいの？」

という質問に対して、

「 ¬(x∈x) を先に証明しとけばいい 」

と回答したことになるわけで、
それじゃ何の回答にもなってないし、
これまでの文脈を全く理解してないし、問題外でしょ。

ちなみに、

「どうやって ¬(x∈x) を証明すればいいの？」

という質問に対して、 まさしく ¬(x∈x) を
直接証明しているのが>>295-299なので、
この時点で話は終わっている。

実際、発端となった ID:8e/gxRJc は、
>>295-299を読んで納得し、彼なりに証明を清書して、
彼の中ではもう解決済みになっている。

一方で、この>>295-299のアプローチとは別に、ID:UTyjqEFh は

「 >>310のように考えても解決するのでは？」

と言っていたわけ。となれば、文脈上は、

「>>310が先に示せれば、それで ¬(x∈x) が証明できるぞ」

と言っていることになる。あるいは、

「>>310が先に示せれば、¬(x∈x) を使わずに疑問点が解消するぞ」

と言っていることになる。

ところが、フタを開けてみれば、>>310の方針を完遂するためには、

「 ¬(x∈x) を先に証明しなければならない 」

ことが発覚している。この時点で、
>310の方針は企画倒れとなる。君はそこで、

「それなら ¬(x∈x) を先に証明すればいい」

と反論したわけだが、それだと、

「どうやって ¬(x∈x) を証明すればいいの？」

という質問に対して

「 ¬(x∈x) を先に証明すればいい」

と返答したことになってしまうので、問題外である。

アスペは釣られたオッサンたちの回答には納得せず洋書を見つけてきて凄いですねというよｗ

件の人は∀x(¬x∈x)を公理として使うのでは無く
Nの構成法だけから∀x∈N(¬x∈x)を示したいんだろうが
できると思うけどできたところでどうでもよくない？

定規とコンパスだけで初等幾何証明するよりも不毛感

>>323
何を問題にしてるのかさっぱりわからん

Sx∈Sxならばx∈xで、∅∉∅なんだから、x∉xなのは当たり前じゃん

>>329
＞Sx∈Sxならばx∈xで

そこが簡単には言えないから>>295-299のようにするってこと。
まあ>>295-299以外にも方法はあるけどね。

>>329
＞Sx∈Sxならばx∈xで

S(x)∈S(x)とする。x∈x を示したい。

まず、x∪{x}∈x∪{x} である。
x∪{x}∈{x} の場合は、x∪{x}＝x である。
すると、x∈{x}⊂x∪{x}＝x となるので、
x∈x に到達する。

問題は x∪{x}∈x の場合で、
ここから即座に x∈x に到達することはできなくて、
先に他の性質を示しておかなければならない。
だから普通は>>295-299のようにする。