定理1：∀x,y∈N s.t. (¬(x∈y) または ¬(y∈x)).

証明：x,y∈N を任意に取る。A＝{x,y} と置き、
この A に対して補題1を適用すればよい。

定理2：∀z∈N s.t. (¬(z∈z)).

証明：定理1で x＝z, y＝z を適用すればよい。

(オマケ)
定理3：¬(N∈N).

証明：以下の証明はトンチのような証明であり、とても気持ち悪い。
もし N∈N が成り立つなら、x＝N に対して
x∈N となるので、定理2 から ¬(x∈x) が成り立つ。
x＝N だったから、¬(N∈N) が成り立つ。
しかし、N∈N だったから矛盾する。
以上により、¬(N∈N) が成り立つ。