f(x) = (1-x)^(-1/x) = Σa_nx^n をテイラー展開とする。lim[n→∞]a_n = 1 を示せ。

(解) g(x) = (1-x)^(-1/x+1) とし g(x) = Σb_nx^n をテイラー展開とするとき an = Σ[k≦n] b_k である。
f’(x) = f(x)(-1/x log(1-x))’ より
. a_n+1 = 1/(n+1) Σ[k≦n]a_k (n-k+1)/(n-k+2)
から a_n は単調減少でとくに lim (1/n)Σ[k≦n] b_k = 0 である。よってタウバーの定理より
. lim[n→∞]a_n = lim Σ[k≦n] b_k = g(1) = 1
である。

(参考) g’(x) = g(x)((-1/x+1)log(1-x))’ より
b_n+1 = -1/(n+1) Σ[k≦n]b_k 1/(n-k+2)
である。

import Data.Ratio

xs *** ys = [sum [(xs!!k)*(ys!!(n-k))|k<-[0..n]] | n<-[0..]]

as' = [(n+1)/(n+2) | n<-[0..]] :: [Rational] -- taylor exp. of ( (-1/x)log(1-x) )’
as = 1:(zipWith (*) [1/n | n<-[1..]] $ as *** as')

bs' = [-1/(n+2) | n<-[0..]] :: [Rational] -- taylor exp. of ( (-1/x+1)log(1-x) )’
bs = 1:(zipWith (*) [1/n | n<-[1..]] $ bs *** bs')

main = do
print $ take 10 as
print $ take 10 bs

[1 % 1,1 % 2,11 % 24,7 % 16,2447 % 5760,959 % 2304,238043 % 580608,67223 % 165888,559440199 % 1393459200,123377159 % 309657600]
[1 % 1,(-1) % 2,(-1) % 24,(-1) % 48,(-73) % 5760,(-11) % 1280,(-3625) % 580608,(-5525) % 1161216,(-5233001) % 1393459200,(-1212281) % 398131200]