それでは、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを証明します。

∃m, n ∈ N such that m < n < m + 1 が成り立つと仮定する。

補題2.8により、 m < n → m + 1 ≦ n が成り立つ。
m + 1 = n が成り立つとすると、 m + 1 = n < m + 1 となり矛盾するから、 m + 1 ≠ n である。
よって、 m + 1 < n が成り立つ。 n < m + 1 だから、定理2.6（推移律）により、 m + 1 < m + 1 となり矛盾する。
よって、 m < n < m + 1 を満たすような m, n ∈ N は存在しない。