なので、以下では君が証明できずに逃げ回っていた部分を証明する。
君の証明が機能するためには、[y∈z ⇒ y⊂z] が証明できれば十分。

定理：∀x,y∈N s.t. (x∈y ⇒ x⊂y).

証明：
A＝{y∈N｜∀x∈N s.t. (x∈y ⇒ x⊂y)} と置く。A＝N を示せばよい。
まずはφ∈Aを示す。∀x∈N s.t. (x∈φ ⇒ x⊂φ)を示せばよい。
x∈φ は常に偽なので、(x∈φ ⇒ x⊂φ) は真である(空虚な真)。
よって、確かにφ∈A である。次に、y∈A とする。S(y)∈A を示す。
∀x∈N s.t. (x∈S(y) ⇒ x⊂S(y))を示せばよい。
x∈S(y) とする。S(y)＝y∪{y} なので、x∈y または x＝y である。
x∈y のときは、仮定 y∈A により、x⊂y である。また、y⊂S(y) である。
よって x⊂S(y) である。x＝y のときは、自明に x⊂S(y) である。
よって、確かに S(y)∈A である。よって、A＝N である。■